Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Перестановка членов ряда.

В абсолютно сходящемся ряде возможно произвольно переставлять его члены, не меняя' суммы / яда. Действительно, переставив члены ряда (22), получим новый ряд:

где alt а2, а3, ... обозначают совокупность всех натуральных чисел, написанных в каком-либо порядке. Полагая в{ = иа1, $2в#, мы видим, на основании доказанной в предыдущем пункте теоремы, что если ряд (22) абсолютно сходится, то абсолютно сходится и новый ряд (30), причём сумма нового ряда равна попрсжнему s.

Из теории рядов известно, что в ряде условно сходящемся, вообще говоря, нельзя переставлять члены без изменения его суммы. Более того, существует предложение, в силу которого условно сходящиеся ряды с комплексными членами разбиваются на две группы. Для каждого из рядов первой группы существует такая прямая, что путём перестановки членов ряда можно получить из него новый сходящийся ряд, сумма которого изображается любой точкой прямой; при этом невозможно получить ни одного ряда, сумма которого изображается точкой, не лежащей на этой прямой. Для ряда второй группы, путём перестановки членов, можно получить новый сходящийся ряд, имеющий любую, наперёд заданную сумму. Примером ряда первой группы может служить известный ряд 1—ж/21/3 — — V4 “t“ • • • > примером ряда второй группы — ряд 1 -j- i1/2Ч2 4-

|_1/ _l /I _1/ _// 4_

^ /3 М /3 14 14 1 • • •

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>