Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Умножение рядов.

Пусть нам даны два ряда Образуем новый ряд:

называемый произведением двух данных рядов.

Докцжем следующее предложение: если данные ряды (22) и (26) абсолютно сходятся и имеют своими суммами соответственно s и s то новый ряд (31) также абсолютно сходится и имеет суммой ЧиСЛО S=S'S'.

Для доказательства рассмотрим попарные произведения всех членов рядов (22) и (26):

и покажем, что ряд, членами которого являются числа (32), абсолютно сходится. Для этого достаточно доказать, что любая сумма вида: |ихи | -J- Uu'2 Ц-..uku's остаётся меньше постоянного числа. Обозначая через п наибольший номер входящих в рассматриваемую сумму членов рядов (22) и (26), легко усматриваем, что она не больше произведения.

а, следовательно, и подавно меньше j-j , где положено: а= К| -l-KI + KI-f •••> ®' = KI + Kl +-KI )-••• Итак, к ря- ду, членами которого служат числа (32), можно применить доказанную в и. 5 теорому двойных рядов, положив:

На основании этой теоремы ряд (31) абсолютно схопится. Остаётся показать, что сумма ряда (31) равна s-s'. С этой целью иначе группируем члены (32), а'именно полагаем s{ =ulu’l -}- -f- utu'3 -{-..

So = UoUx--u2u'2 -|- w2tt3 + • • • и т* Д- Ряды sit s2, . .. абсолютно сходятся на основании общей теоремы п. 5. Вынося в первом ряде их за скобку, убеждаемся, что его сумма s{ равна u^s. Аналогично будем иметь: s2 = u2-s' и т. д. Наконец, ряд s.2-|-... или «, • • • есть абсолютно сходящийся, сумма которого, очевидно, равна:

В силу теоремы п. 5 эта сумма совпадает с суммой ряда (31).

Итак, мы видим, что основные операции над конечными суммами, как-то: перестановка пор щка спагаемых и умножение таких сумм, распространяются на бесконечные ряды при условии их абсолютной сходимости. Перемножая два условно сходящихся ряда, мы можем в результате получить, вообще говоря, расходящийся ряд. Таким образом, теорема об умножении рядов неприменима к условно сходящимся рядам.

Однако, как мы увидим далее, эта теорема может быть распространена на условно сходящиеся ряды, если a priori известно, что в результате их умножения полу 1астся сходящийся ряд.

При изложении теории рядов мы ограничились рассмотрением основных свойств сходпцихся рядов. Расходящиеся ряды имеют также обширные применения в математическом анализе. Подобно тому как со всяким сходящимся рядом связывается определённое число, называемое его суммой, можно дать различные регулярные процессы, с помощью которых определяются суммы для более или менее широких классов расходящихся рядов. Однако, изложение теории расходящихся рядов выходит за пределы настоящего руководсгва.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>