Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I

1. Выразить cosпх и sin яд: через степени sin* и cos*, пользуясь формулой Муавра.

Отв. cos пх = cos пх — (“7 ^ cos'*-3 * sin2 *-f- cos'*-4 * sin4 * —...

sin л* =л cos'*-1* sin*— ^ -j- ) cos'»-3* sin3 *-f- ? j cos'*-5*sin5*—...

2. Где лежат точки z, для которых | z | --R(z) ^ 1?

Отв. Внутри параболы r==--!- и на ней.

  • 1 cos f
  • 3. Представить в комплексной форме выражение у -1.

Ome. 1^Г+7 = /^cos -f / sin-1).

4. Определить хну, если х -f*yl = Уа --Ы.

Л /V а* + b* + ~a

Отв.х = :?1/ -“Y"— , У = ±Л/ ---;

знаки нужно взять одинаковые, если b положительное, и разные, если b отрицательное.

  • 5. Где лежат точки г, для которых:
    • а) |г| =52; б) И >2; в) Г> Жг2) = °;
    • д) г3— 11 =e>0; е) ж)I = 1?

I Z 1 I I Zz2

Отв. г) Гипербола, пара прямых при а = 0. д) Лемниската, е) Правая полуплоскость, включая границу, ж) Прямая, перпендикулярная в середине отрезка zxz2.

6. Когда три точки zlt z2, z3 лежат на прямой линии?

Отв. Отношение разностей —-— должно быть действительным числом.

г2zz

7. Когда четыре точки zh z2, z3t z4 лежа г на окружности?

Отв. Двойное отношение ——— : —-— — действительное число.

z2z9 z2г4

8. Проверить тождество | zx + z212 -{-1 zxz21* = 2 (| zx |2 +1 z212). Какое геометрическое предложение выражает это уравнение?

Отв. В параллелограме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон.

9. Какая точка z делит отрезок zz2 в отношении XjiXj?

ГЛ____*2г1 + * Z2

  • 0тв• г=^гнг-
  • 10. Треугольник имеет вершины гъ z2, z3. Где лежит его центр тяжести,, если а) г каждой вершине масса X, б) в вершинах массы Хь Хг, Х3?

Отв. a) , = ?i±?*±?i•; 6) z = ^i?i±^±Vs.

о >1 -h х2 н- х8 [1]

16. Бесконечный ряд 2ся т°гда и только тогда сходится, когда при

л = 1

произвольном выборе целых положительных чисел р, /?2» •••, Рп> ••• имеем:

  • [1] Показать, что центр тяжести системы материальных точек с массами >ьХ2,..., Х„, находящихся в геометрических точках zlt z2i..., za, лежит в точке _^1*1 + *2*2 • «4~ *я*я 4+ **+••• + *Д 12. Для трбх точек zlt z2, z3 выполняются условия: Показать, что zlt z2y z3 суть вершины вписанного в единичный кругравностороннего треугольника. 13. Если гх + 2г2 4“ *з + zi = 0 н I zi I = I z21 = I *a I = I zi I = 10 четыреточки zt образуют вписанный в единичный круг прямоугольник. 14. zlt ztlг-,...— произвольная последовательность точек, z0—еепредельная точка. Показать, что из последовательности zi можно всегдавыбрать частичную последовательность zv z2,... так, чтобы zn - zq. 15. Из условия zn-*z0 показать, что zn = Zl Zn -» z0. Вер- но ли это, если ,г0 = оо?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>