Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного.

Рассмотрим множество Е комплексных чисел и условимся, что комплексное число z = x-y yi может быть отождествлено с каждым числом этого множества Е; в таком случае мы назовем z комплексным переменным, а Е ?—его областью изменения. Геометрически область Е изменения комплексного переменного z изобразится посредством множества точек в комплексной числовой плоскости или на числовой сфере. По- прежнему мы будем обозна"ать это множество точек через Е и будем его называть областью изменения комплексного переменного z. Если мы воспользуемся для изображения чисел множества Е числовой сферой, то нет необходимости исключать случай, когда бесконечна удалённая точка принадлежит к Е, т. е. когда среди чисел множества Е имеется бесконечность. Мы назовём w функцией независимого комплексного переменного z, если каждому значению, которое может принимать z, т, е. каждому числу множества Е, соответствует по определённому закону комплексное числовое значение w = u--vi. Символически это обозначается так: wt=f(z). Если z = х-- yiy то и и v суть действительные функции двух действительных переменных х, у. Таким образом, задание w как функции комплексного переменного z сводится к заданию двух функций и и v переменных х и у. Может случиться, что каждому значению комплексного z соответствует несколько различных значений переменного w. В этом случае w называется многозначной функцией комплексного переменного zy тогда как в первом случае она называется однозначной функцией. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем, иметь дело лишь, с однозначными функциями.

Каждой точке множества Е, которое служит областью изменения переменного zy соответствует определённое комплексное число w. Изображая последнее как точку в числовой плоскости или на числовой сфере, мы получаем множество точек Е'. Итак, задание w как функции комплексного переменного z геометрически сводится к установлению соответствия между множествами точек Е и Е в силу которога каждой точке множества Е отвечает определённая точка множества Е В этом случае говорят, что множество точек Е отображается на множсство точек Е'. При этом некоторые точки множества Е' могут оказаться кратными, что будет тогда, когда различным значениям г соответствует одно и то же значение w. Рассматривая соответствие между точками множеств Е и Е' как отображение множества Е' на множество Е, мы получаем для каждого значения комплексного переменного wy изменяющегося на множестве точек ?', одно или несколько (конечное или бесконечное множество) значений z. Следовательно, обратно, z можно рассматривать как функцию комплексного переменного w. Такая функция носит название обратной функции по отношению к функции w=f(z). Если различным значениям комплексного переменного z соответствуют различные значения функции w, то отображение множеств Е и Е' будет взаимно однозначным, т. е. таким, что каждой точке множества Е отвечает единственная точка множества Е' и, обратно, каждой точке множества Е' — одна точка множества Е. В этом случае z, рассматриваемое как обратная функция wy будет также однозначной функцией. В общем же случае функция, обратная однозначной функции, может быть мноюзначной и даже бссконечнозна ’ной Более того, функция, обратная однозначной, может иметь при каждом значении независимого переменного бесконечное множество значений, образующих непрерывную линию. Например, w =: есть однозначная функция комплексного переменного z. Рассматривая же z как функцию w, мы видим, чго данному значению w = c отвечает бесконечное множество значений г, для которых |.г| =Су т. е. целая окружность. Впрочем, явления такого рода нс могут иметь места для класса дифференцируемых функций, изложение теории которых представляет главную задачу настоящего руководства.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>