Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Непрерывность функции комплексного переменного.

Пусть дана однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, определённая в области G плоскости. Мы скажем, что функция f(z) стремится к пределу Л, когда z стремится к точке z0 области G, если она удовлетворяет условию: для каждого произвольно малого положительного числа е можно определить положительное число $ = $(?), такое, что имеет место неравенство f(z) — А | е для всех

z(z ф z0), удовлетворяющих неравенству | zz01

Символически это записывают так:

В частности, если .4 =f(z0), функция f(z) называется непрерывной в точке zQ% т. е., по определению, f{z) непрерывна в точке z0, если для каждого сколь угодно малого положительного числа е существует положительное число $ = $(s), такое, что выполняется неравенство:

для всех z, удовлетворяющих неравенству: или, короче:

Геометрически это определение означает, что для всех точек г лежащих внутри круга | z — г0|<^ с центром в точке z0 достаточно малого радиуса $, соответствующие значения функции w?=f(z) изображаются точками, лежащими внутри круга w — z?J0|<^e с центром в точке w0=f(z0) сколь угодно малого радиуса s. Мы можем формулировать короче определение непрерывности таким образом: функция w=f(z) называется непрерывной в точке г0, если для всех точек достаточно малой окрестности точки z0 соответствующие значения функции лежат в произвольно малой окрестности точки 0 =/(*„)•

Функция, непрерывная в каждой точке области О, называется непрерывной в этой области. Например, w = zn непрерывна в каждой точке г0 плоскости. Действительно, полагая w0 = z0n, имеем:

переходя к модулям, мы получим следующее неравенство:

где положено: z=r, zQ = r0. Рассматривая теперь окрестность $ точки z0. мы видим, что для всех точек z этой окрестности имеет место очевидное неравенство: r=z<^ОМ=г0--й (фиг. 16). Поэтому будем иметь:

Отсюда ясно, что мы можем $ выбрать столь малым, чтобы wwQ J был меньше любого наперёд заданного положительного числа е. Итак,

Фиг. 16.

w zn есть функция, непрерывная во всей плоскости комплексного переменного z.

Так как определение непрерывности функции комплексного переменного с формальной стороны аналогично соответствующему определению для функции действительного переменного, то доказательства теорем об операциях над непрерывными функциями остаются теми же в комплексной области, что и в действительном анализе. Так, сумма, разность и произведение двух функций f(z) и непрерывных в точке z0 (в области О), есть функция., непрерывная в той же точке (в той же области); также частное таких функций есть функция, непрерывная в точке z0 (в области О), если я (г0) ф О [если ср(^)фО в области О]. Пользуясь этим предложением, мы можем, например, заключить, что любая целая рациональная функция w = a0zn-J-alzn ~ 1 -f-... -}-яЛ непрерывна во всей плоскости комплексного переменного z; далее, всякая рациональная функция апгп Я2п i --j—... —f— (in

w = ь ~т b^zm --~-~b непРеРывна в каждой точке плоскости

комплексного переменного z, за исключением тех значений г, при которых знаменатель равен нулю.

Примеры

1. /(0) = 0; /(z) = z =r(cos« + / sine), где г > 0,0 ^ < 2п. Это есть функция, однозначно определённая во всей плоскости комплексного переменного z, непрерывная во всякое точке, отличной от точек действительной положительной оси. Будет ли функция непрерывной в этих последних точках? Очевидно, нет, так как в противном случае для всех точек z достаточно малой окрестности точки z = г должно быть f{z)f(r) < е, т. е.

|/(z)|г находится на луче, для которого <р>е. Заметим, что если z приближается к точке г0 = г"вдоль положительной действительной оси (у = 0), то условие непрерывности выполняется так как для таких точек всё время f(z0)f{z) =0 и значит, |/(г0) —/(z)| < е. Однако, определение непрерывности функции w в точке z0 требует, чтобы при произвольном приближении точки z'k точке z0 значение функции w стремилось к w0.

2. w = | z | = У х2 -~уг. Эта функция непрерывна во всей плоскости комплексного переменного z, так как, очевидно, lim | z | = | z0.

Z -> zt

Фиг. 17.

3. w = argz. Это есть функция, определённая во всей плоскости комплексного переменного z, кроме z = 0, многозначная, потому что каждый вектор имеет бесконечное множество различных направляющих углов, разнящихся друг от друга на кратное 2п. Когда точка z описывает окружность, внутри которой лежит начало координат, го при одном положительном обходе этой окружности «> = arg z возрастает на 2т., при л-кратном обходе— на 2т.п. Если же точка z описывает окружность, для которой нулевая точка будет внешней, го w = argz после обхода принимает первоначальное значение. Действительно, после обхода окружности (фиг. 17) w — zigz может принять лишь такое значение, которое разнится от начального значения на кратное 2т. Однако, вектор z всё время остаётся в угле, образованном двумя касательными к окружности, проведёнными из точки г — 0; следовательно, arg z не может принимать значений, которые отличались бы от начального его значения больше, чем на угол между обеими касательными. Так как этот угол меньше т, то при обходе указанной окружности arg z должен вернуться к первоначальному значению.

Отсюда следует, что w = arg z можно рассматривать как однозначную непрерывную функцию в окрестности любой точки г(гфО) плоскости, не содержащей нулевой точки. Аналогично можно показать, что w = arg z есть функция, однозначная и непрерывная во всякой односвязной области, нс содержащей нулевой точки.

Иногда функция w = f{z) рассматривается определённой также и в граничных точках области G, т. е. во всей замкнутой области G. Тогда под непрерывностью функции в граничной точке z0 области G понимают следующее: условия непрерывности (3) и (4) выполняются для всех точек z, принадлежащих области G, т. ё точки z, лежащие вне области G, оставляют вне рассмотрения. Функция, непрерывная во всех точках замкнутой области G, называется непрерывной в G.

Подобным же образом говорят также о непрерывности вдоль кривой, понимая под этим, что условия непрерывности (3), (4) выполняются только для точек, лежащих на рассматриваемой кривой, не обращая внимания на значения функции в других точках.

Так, в примере 1 функция f(z) непрерывна вдоль действительной положительной оси во всякой точке этой линии, так как в этих точках она всё время равна нулю, несмотря на то, что эта функция не будет просто непрерывной ни в какой точке этой линии.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>