Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема о равномерной непрерывности. Лемма Гейне-Бореля.

Функция w =f(z), непрерывная в замкнутой ограниченной области G, обладает свойством, которое выражается следующей теоремой:

Каково бы на было малое положительное число е, существует число д = Ь (е) такое, что для любых двух точек z' и zm области G, расстояние между которыми |z'z" $, разность соответствую

щих значений функции удовлетворяет неравенству:

Это свойство выражает, как говорят, равномерную непрерывность функции в замкнутой области G. Теорема, следовательно, утверждает, что любая функция, непрерывная в замкнутой области G (т. е. непрерывная во всякой точке области G), равномерно непрерывна в области G.

Из условия непрерывности функции в каждой точке z области G следует, что при любом е > 0 существует круг с центром в точке z радиуса рг такой, что для любых двух точек z' и «гг", лежащих внутри этого круга, имеем: |f(z') — /(z?)|<^g. С изменением z радиус рг изменяется и возникает вопрос: не будет ли он становиться меньше сколь угодно малого числа? Формулированная теорема утверждает, что радиус этого круга можно считать больше некоторого постоянного положительного числа. Доказательство этой теоремы будет основано на следующем вспомогательном предложении, известном под именем леммы Гейне-Бореля:

Если каждая точка z замкнутой и ограниченной области G есть центр круга Кг, то существует конечное число этих кругов, покрывающих область G, т. е. таких, что всякая точка области G лежит внутри по крайней мере одного из этих кругов.

Для доказательства заключим область G внутрь квадрата Q, со сторонами, параллельными осям координат, и разделим этот квадрат на четыре конгруэнтных квадрата. Предполагая утверждение неверным для области G, мы должны допустить, что оно неверно для множества точек области G, лежащих хотя бы на одном из этих четырёх квадратов. Обозначим такой квадрат через Q2 и разделим его снова на четыре конгруэнтных квадрата; получим квадрат Q3. Продолжая такое разделение дальше, мы достигнем Qn, содержащего часть области G, для которой наша теорема неверна, т. е. для которой необходимо покрытие бесконечно многими кругами Кг, Пусть z0 есть точка, принадлежащая всем квадратам Qn (гл. I, § 3, п. 4). Если п достаточно большое, то в произвольной окрестности точки z0 лежат квадраты Qn и, следовательно, точки области G. Таким образом, точка z0 принадлежит сама области G и является, следовательно, центром круга Кго, Обозначим радиус этого круга через р. Выбирая п столь большим, чтобы диагональ квадрата Qn была меньше р, мы видим, что все точки области G, принадлежащие такому С?я, покрываются с помощью одного круга А^, в то время как по предположению для покрытия этих точек необходимо бесконечное множество кругов системы Кг. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы.

Замечание. Лемма, очевидно, остаётся верной, если вместо области G возьмём непрерывную кривую или вообще любое ограниченное замкнутое множество точек плоскости. Множество точек плоскости называется ограниченным, если оно целиком лежит в конечной части плоскости; оно называется, сверх того, замкнутым, если содержит все свои предельные точки, т. е. точки z плоскости, в произвольных окрестностях которых находятся точки множества, отличные от г.

Обращаясь к доказательству теоремы о равномерной непрерывности, рассмотрим около каждой точки z области G круг радиуса рг такой, что для любых двух точек г' и ?, лежащих внутри этого круга, имеет место неравенство: |/(z')— /СО |<С6; это следует непосредственно из непрерывности функции /(z) в каждой точке z области G. Как в лемме ГеЙне-Бореля, поставим в соответствие каждой точке z

области G круг с центром в этой точке радиуса рг. На осно-

вании леммы существует система конечного числа таких кругов, по крывающая область G. Пусть радиус наименьшего среди этих кругов равен $; мы утверждаем, что это число д удовлетворяет условиям доказываемой теоремы. В самом деле, если г'и точка г'

г 1 1

лежит внутри круга с центром в точке t, радиуса — рг, то о С у р:,

и, следовательно, точки z и z* лежат внутри круга с центром в точке С радиуса рг; отсюда следует: f(zf) — /(^*)|<Се* что и требовалось доказать.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>