Главная Математика, химия, физика
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
|
|
||||||
Первая теорема Абеля.Если степенной ряд (14) сходится при z = z0, то он сходится, и притом абсолютно, при всяком z, для которого | z | | ги |. В терминах геометрии это предложение Абеля может быть формулировано так: если степенной ряд (14) сходитеч в почке zQt то он' абсолютно сходится во всякой точке, лежащей внутри окруж ности с центром в нулевой точке, проходящей через точку г0 (фиг. 18). Вследствие условия ряд
сходится, и, следовательно, Umcnz0a = 0 (гл. I, § 5, п. 2). Последнее п-*-оо ![]() Фиг. 18. равенство показывает, что точки, изображающие числа сп20я, лежат в некоторой окрестности нулевой точки, т. е., каково бы ни было п, имеем:- ![]() где g—постоянное положительнре число. Перепишем данный ряд (14) в виде:
и заметим, что в силу (15) будет:
где положено k=— =й, причём так как по условию I *о 1*о| |z|
Так как знаменатель этой прогрессии &<^1, то она сходигся, и, следовательно, сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда; отсюда следует абсолютная сходимость самого данного ряда (14). |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|