Первая теорема Абеля.

Если степенной ряд (14) сходится

при z = z₀, то он сходится, и притом абсолютно, при всяком z, для которого | z | | г_и |.

В терминах геометрии это предложение Абеля может быть формулировано так: если степенной ряд (14) сходитеч в почке z_Qt то он' абсолютно сходится во всякой точке, лежащей внутри окруж

ности с центром в нулевой точке, проходящей через точку г₀ (фиг. 18).

Вследствие условия ряд

сходится, и, следовательно, Umc_nz₀^a = 0 (гл. I, § 5, п. 2). Последнее

п-*-оо

Фиг. 18.

равенство показывает, что точки, изображающие числа с_п2₀^я, лежат в некоторой окрестности нулевой точки, т. е., каково бы ни было п,

имеем:-

где g—постоянное положительнре число. Перепишем данный ряд (14) в виде:

и заметим, что в силу (15) будет:

где положено k=— =й, причём так как по условию

I *о 1*о|

|z|0|. Итак, модули всех членов данного ряда (14) меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

Так как знаменатель этой прогрессии &<^1, то она сходигся, и, следовательно, сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда; отсюда следует абсолютная сходимость самого данного ряда (14).