Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Понятие наибольшего предела.

Пусть дана. последовательность действительных неотрицательных чисел1):

Может случиться, что последовательность чисел (16) неограниченна, т. е. среди чисел (16) найдутся числа, бблЪшие любого наперед заданного положительного числа. В этом случае условимся говорить, что наибольший предел / последовательности чисел (16) равен -j-00- Второй случай будег тот, когда последовательность чисел (16) ограниченная, ап<^А, т. е. все точки, изображающие числа (16), лежат на конечном отрезке [О, А]. Как мы знаем, ограниченная последовательность точек имеет по крайней мере одну предельную точку (гл. 1, § 3, п. 4); вообще говоря, множество всех предельных точек нашей последовательности (16) будет бесконечным множеством (обозначим его через ?), лежащим на отрезке [О, А]. Когда мы имеем конечное число точек отрезка, то среди них имеется одна точка, лежащая правее всех остальных. В случае бесконечного множества точек, расположенных на конечном отрезке, может случиться, что у множества нет самой правой точки. Например, множество точек отрезка [0, 11:

—, у, -ц, -у, . . ., не имеет точки, которая была бы расположена

J) Мы ограничиваемся рассмотрением наибольшего предела последовательности неотрицательных чисел, так как для дальнейших приложений нам этого достаточно.

правее всех остальных. Однако, такого обстоятельства не может быть для рассматриваемого множества Е предельных точек.

Действительно, легко показать, что среди точек множества Е предельных точек ограниченной последовательности (16) существует точка, лежащая правее всех остальных. С этой целью разделим отрезок ОАг который мы обозначим через /t, пополам, и пусть Ах есть его середина. Возможно одно из двух: либо отрезок АХА содержит бесконечное множество точек данной последовательности, либо нет. В первом случае за второй отрезок /2 примем АХА, во втором случае ОЛг Подобно отрезку /, отрезок /2 содержит бесконечное множество точек данной последовательности. Затем снова делим пополам отрезок /2, и если правая его половина содержит бесконечное множество точек данной последовательности, то за отрезок /а принимаем правую era половину, а если правая половина отрезка /2 содержит конечное число точек последовательности [в частности, совсем лишена точек (16)], то за отрезок /3 принимаем левую половину отрезка /2. Продолжая этот процесс неограниченно, получим бесконечную последовательность отрезков /19 /2, /3, . . ., /я, . . . таких, что каждый отрезок принадле-

. дл. /,

жит предыдущему, причем длина отрезка 1п, равная --^п-, стремится

к нулю, когда п неограниченно возрастает. Кроме того, отметим, что- всякий отрезок 1п содержит бесконечное множество точек данной последовательности, причём правее его может находиться лишь конечное число таких точек. На основании принципа вложенных отрезков (гл. I, § 3, п. 1) существует точка, общая всем отрезкам /л, которую мы обозначим через А*.

Докажем теперь, что Л* есть .самая правая предельная точка данной последовательности. Для этого мы обнаружим, во-первых, чта никакая точка, лежащая правее Л*, не может быть предельной точкой для данной последовательности и, во-вторых, что Л* есть предельная точка. Действительно, пусть Л' лежит правее Л*. Выбирая п достаточно большим, мы можем считать, что точка А' лежит правее отрезка 1п. Но вправо от отрезка 1п может находиться лишь конечное число точек данной последовательности и, следовательно, точка А' не может для неё быть предельной. Сама же точка Л#, очевидно, есть предельная для данной последовательности, потому что произвольная окрестность этой точки содержит отрезок /„ (если п достаточно велико), на котором лежит бесконечное множество точек данной последовательности.

Итак, множество Е предельных точек ограниченной последовательности (16) имеет точку, лежащую правее всех остальных точек множества Е. Число, соответствующее этой «самой правой> предельной точке, будет предельным числом данной последовательности чисел (16), наибольшим среди всех предельных чисел этой последовательности. Таким образом, мы доказали существование конечного числа /, наибольшего среди предельных чисел ограниченной последовательности (16) неотрицательных чисел. Согласно предыдущему всякая последовательность неотрицательных чисел имеет наибольший предел /, конечный или равный-|-оо, т. е. O^/^-j-с». Символически этозаписывают гак: / = lim ап. Так как любое» предельное число после-

п 00

довательности неотрицательных чисел не меньше нуля, то в случае 7 = 0 данная последовательность чисел (16) должна сходиться к нулю.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>