Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Равномерная сходимость степенного ряда.

Мы видели, что степенной ряд

абсолютно сходится во всякой точке внутри его круга сходимости. Возникает вопрос: не булет ли ряд (14) равномерно сходящимся внутри его круга сходимости, т. е. при |г|<1/?? На вопрос в такой формулировке нужно ответить отрицательно; так, ряд

не будет равномерно сходящимся при z<^. В самом деле, с одной стороны, имеем | 1 + z -}- z2. . . -|-zN | N-f- 1, независимо от z.

если | z | < 1 • С другой стороны, когда z стремится к единице, | z! < 1,

функция стремится к бесконечности. Таким образом, модуль разности ^—Ц--(1 --z--z1 -f-. . .--zN) не может оставаться меньше

любого наперёд заданного положительного числа, независимо от z,

| z | 1. Однако, всякий степенной ряд равномерно сходится в круге

z^rt если гл|==|ся||г|,,^|с/|л, и так как числовой ряд с общим членом спгл сходится (/•

Заметив, что члены степенного ряда (14) суть непрерывные функции, из доказанного мы заключаем [на основании теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда (гл. И, § 2, п. 2)]: Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная npuz /*, r<^R, а, значит, и при z <^Ry т. е. внутри всего круга сходимости. Итак, степенной ряд, для которого О, изображает непрерывную функцию внутри его круга сходимости.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>