Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вторая теорема Абеля.

Мы видели, что степенной ряд

может сходиться в точках, лежащих на окружности его круга сходимости. Во всякой такой точке z0l z0 | = /?, функция P(z) имеет определённое конечное значение, и возникает вопрос: каким образом это значение Я(?с) связано со значениями P(z) в точках z, внутренних к кругу сходимости?

На этот вопрос даёт ответ следующая теорема, принадлежащая Абелю:

Если степенной ряд (14') сходится в точке z0 окружности его круга сходимости, то его сумма Р (z) стремится к пределу P(zQ), когда точка z стремится к zQ, оставаясь на радиусе OzQ:

Другими словами, сумма P(z) ряда (14') есть функция, непрерывная в точке z вдоль радиуса Oz0.

Не уменьшая общности теоремы, мы можем предполагать радиус сходимости равным единице и z0= 1. Действительно, полагая z = z0C, получим Р (z) == Р U0C) = Q(Q, причём радиус сходимости преобразованного ряда Q[С) будет единица, потому что неравенство |^|z = z0 будет соответствовать точка С = 1 • Так как по условию ряд (14') сходится при z = z0, то ряд Q(C) будет сходящимся при С=1. Далее, мы можем ради простоты предполагать Р(1)=0, так как в противном случае вместо Р(z) взяли бы Р (z) — Р(1). Итак, пусть данный ряд (14') имеет радиус сходимости Р = 1 и сходится в точке z= 1 к значению 0. Нужно доказать, что

если z остаётся положительным и z<^Y. Рассмотрим вспомогательный ряд:

радиус сходимости которого тоже равен единице. Перемножая ряды (14') и (24), что возможно в силу их абсолютной сходимости при |z|

или

где 5 = с0 + с1 + с2 + - • * + ?я представляет частичную сумму ряда Р(1). Ряд (25) имеет радиус сходимости, равный единице. В самом деле, его радиус сходимости R не может быть, очевидно, меньше единицы, так как этот ряд полупился в результате умножения рядов (14') и (24) с радиусами сходимости, равными единице; с другой стороны, R не может быть больше единицы, так как в противном случае ряд:

имел бы радиус сходимости больше единицы, что невозможно.

Желая оценить P(z), обозначим через т натуральное число, пока произвольное, и перепишем (26) в виде:

Пусть е— данное сколь угодно малое положительное число. Выберем т столь большим, чтобы при имело место неравенство: |1<С’5‘ » что возможно, так как Нш $л = 0. Из равенства (27) находим, вслом-

п -*• оо

нив, что z — положительное число, меньшее единицы: где

00

_ zm +1

и, следовательно, не зависит от z. Так как 2^ z = т-—то послед~

1

нее неравенство имеет вид:

До сих пор z было произвольным положительным числом, меньшим единицы. Считая теперь 1—z из (28) будем иметь:

что убеждает нас в справедливости теоремы.

Анализируя это доказательство, читатель обнаружит, что теорема справелли&а и в том случае, когда z любым образом приближается к 20, оставаясь внутри какого-либо угла раствора меньшего тг, с вершиной в точке z0 и с биссектрисой вдоль радиуса Oz0.

Теорема Абеля имеет в анализе многочисленные приложения. Так,.

известно, что In (1 --х)=х —...(— 1 1). При

х= этот ряд будет 1 —и, следовательно, сходится.. По доказанной теореме Абеля сумма последнего ряда равна

С помощью теоремы Абеля можно распространить теорему об умножении абсолютно сходящихся рядов на случай рядов условно сходящихся. Действительно, имея два сходящихся ряда с комплексными членами:

составим их произведение:

где положено: wn = и,йл-|- И2цл-1~Ь ••• “Ь unuv

Предположим, что ряд (30) сходится, и обозначим его сумму через S. В этом случае можно доказать, что S=s»s т. е. два любых сходящихся ряда (29) можно перемножить по известному пра-

силу (гл. I, § 5, л. 7), если в результате получается сходящийся ряд (30).

Для доказательства образуем два степенных ряда:

Так как при z= 1 по условию оба эти ряда сходятся, то они абсолютно сходятся при |z|

Так как ряды (29) и (39) сходятся согласно условию, то по второй теореме Абеля имеем:

Заметив это, из равенства (31) путём перехода к пределу получим:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>