Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Условия Коши-Римана

Пусть w = f(z) = u--vi есть однозначна i функция комплексного переменного z = x--yi, определённая в области. G. Эта функция будет известна, если даны две функции и и v двух действительных переменных х, у. Если функции и н v взять независимо друг от друга, то функция f(z)} вообще говоря, не будет дифференцируемой, несмотря на то, что обе функции и и v имеют каждая частные производные относительно хну.

Так, в вышеуказанном примере w—Z — x—yi непрерывной, нигде не дифференцируемой функции, и = х} v = —у имеют каждая частные производные по хну. Следовательно, в случае дифференцируемости функции f(z) её действительная часть и и коэффициент при мнимой части v должны быть выбраны не независимо, а так, чтобы выполнялись некоторые условия. Выводом этих условий мы теперь и займёмся.

Итак, пусть функция f(z) в некоторой точке z имеет определённую конечную производную. Таким образом, имеем:

Так как Az = Ax-j-iAy может стремиться к нулю по произвольному закону, то, в частности, мы можем считать Ау = 0 и Ал: стремящимся к нулю. Геометрически (фиг. 20) это означает, что мы заставляем точку z--Az приближаться к точке z, следуя прямой линии, параллельной действительной оси. При этом условии равенство (38) нам даст:

что может быть записано в виде:

Аналогично, принимая Дл: ===== 0, т. е. заставляя точку z--kz приближаться к точке z (фиг. 20), следуя прямой линии, параллельной мнимой оси, получим из равенства (38):

что можно записать так:

Так как правые части равенств (39) и (39') равны между собой, то должны быть равны и левые части этих равенств:

Сравнивая между собой в обеих частях последнего равенства (40) действительные и мнимые части, получаем:

Фиг. 20.

Итак, мы видим, что если функция w = и -J— vi дифференцируема в точке z = xто в этой точке существуют частные производные функций и и v, причём эти последние связаны между собой условиями (C.-R.). Эти условия носят название условий моногенности функции в точке z и были найдены Коши и Риманом.

Мы показали, что условия (C.-R.) н еобходи м ы для того, чтобы функция w=f(z) была моногенной в точке z. Покажем, что эти условия достаточны. При доказательстве достаточности условий (C.-R.) мы будем предполагать, что функции и и v дифференцируемы в рассматриваемой точке

т. е. что

где Тц и ri2 — бесконечно малые величины высшего порядка, чем Заметив это, мы можем написать:

Заменяя здесь по формулам (C.-R.) и замечая, что отношение = т]3 есть величина бесконечно малая вместе с

ах -f- lay **

Vdx- dy2 мы для отношения ^ получим следующее выражение:

Переходя в последнем равенстве к пределу при Дг, стремящемся к нулю (или, что то же, при |Д?| = Vdx2-- dy2> стремящемся к нулю), получим:

Из предыдущего вытекает, что для функции w=f(z), аналитической в области О, условия (C.-R.) выполняются в каждой точке этой области; и обратно: если условия (C.-R.) имеют место повсюду в области О и функции и и v дифференцируемы в области, то функция w=u--vi будет аналитической в О.

Естественно, возникает вопрос: не будет ли выполнение условий (C.-R.) повсюду в области О (без дополнительных условий дифференцируемости функций и и v) достаточным для того, чтобы функция w = u--vi была аналитической в области G? На простом примере легко показать, что это не так. В самом деле, пусть

Во всякой точке z плоскости, отличной от нулевой точки, функция w дифференцируема, а потому во всякой такой точке выполняются условия (C.-R.). Легко показать, что и в нулевой точке условия (С.-R.) выполняются.

Действительно, при z = 0 имеем:

откуда

Аналогично находим при z = 0:

откуда (^)о=^~)^==0. Итак, в нулевой точке все четыре частные производные функции и и v равны нулю и, следовательно, условия (C.-R.) остаются в силе. Таким образом, для рассматриваемой функции условия (C.-R.) выполнены во всей плоскости комплексного переменного z, в то время как наша функция не будет аналитической повсюду в плоскости, потому что в нулевой точке она не будет даже непрерывной. Чтобы это показать, достаточно приближать точку z к нулевой точке по прямой линии у = х; тогда

когда х стремится к нулю, последнее выражение стремится к бесконечности. В рассмотренном примере сама функция не является непрерывной повсюду в плоскости, хотя во всякой точке плоскости она удовлетворяет условиям (C.-R.).

Ограничиваясь непрерывными функциями, было доказано[1]), что выполнение условий (C.-R.) повсюду в области G необходимо и достаточно для того, чтобы данная функция была аналитической в области G. Однако, доказательство этого положения выходит за пределы настоящего руководства.

  • [1] Loom an, GOttinger Naclirichte, 1923.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>