Показательная функция.

Функции тригонометрические и гиперболические. Мы видели, что степенные ряды

сходятся абсолютно во всей плоскости комплексного переменного z (гл. 11, § 3, п. 5). Суммы таких рядов будут, как мы только что видели, функциями комплексного переменного z, аналитическими во всей плоскости. Из анализа известно, что если z принимает действительные значения *, то суммы этих рядов суть, соответственно, г*, sin*, cos*. Условимся при любом комплексном значении z суммы наших рядов обозначать соответственно через е*_у sin z, cosz, т. е. положим:

Таким образом, мы определим три функции комплексного переменного г_у аналитические во всей плоскости. Покажем, что известные в случае действительного z свойства этих функций распространяются на случай любого комплексного z.

Так, формула умножения показательной функции:

доказывается для любых комплексных z и / посредством умножения соответствующих рядов. Заметив, что

получаем:

Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, получается из ряда для е^г заменой z на z--t; следовательно, его сумма равна e^z+t, и формула (42) доказана. Полагая в формуле (42) t= —z, найдём:

откуда

Пользуясь формулой (43), легко вывести формулу деления показательной функции:

т. е.

В действительной области тригонометрические функции sin -гг, cos .г не связаны с показательной функцией е^г. Рассматривая эти функции в комплексной области, Эйлер установил замечательное соотношение между ними:

Для доказательства тождества (45) заменим в ряде для е^г букву z через iz и соберём отдельно члены, не содержащие /, и члены, со- держащие /; получим:

Заметив, что ряд, стоящий в скобках, выражает sinz, а ряд, стоящий вне скобок, определяет cos г, получаем тождество (45). Так как ряд для cos z содержит лишь чётные степени z, а ряд, выражающий sinz, — лишь нечётные степени г, то имеем:

Заменяя в тождестве Эйлера (45) z на—z, получаем:

Складывая тождества (45) и (45'), находим:

Вычитанием же их получаем:

Эти формулы также носят имя Эйлера.

Пользуясь тождеством Эйлера, легко доказать, что показательная функция е* имеет период 2тт/. Действительно, с одной стороны, по формуле (42) имеем е*+^ы=е* • e^ui, с другой стороны, в силу тождества (45), имеем: ?^2r/ = cos 2тт —(— / ^sin 2тт= 1. Следовательно, получаем: _т. _е> функция е* не изменяет своего значения при прибавлении к независимому переменному постоянного числа 2ш.

Наконец, пользуясь тождеством Эйлера, получаем так называемую показательную форму для представления любого комплексного числа:

откуда

Известные из тригонометрии формулы сложения и вычитания синуса и косинуса:

распространяются и на комплексную область.

В самом деле, по формуле (42) имеем: e^l(*^+/)=е^,г- e^lty откуда в силу тождества Эйлера получим:

Изменяя в тождестве (50) знаки у z и t, найдём:

Раскрывая скобки в равенствах (50) и (51) и складывая их между собой, получим:

вычитанием же равенств (50) и (51) найдём:

Итак, мы вывели формулы сложения для косинуса и синуса. Формулы вычитания получатся из формул сложения заменой t на — L Наконец, полагая в формулах сложения *== 2тт, получим:

т. е. число 2тт есть период синуса и косинуса и в комплексной области; полагая же в формуле косинуса разности (48) / = z, найдём:

Таким образом, мы видим, что все формулы тригонометрии остаются в силе и для комплексной области.

Отметим ещё, что показательная функция е^г не обращается в нуль нигде на плоскости. В самом деле, полагая z — x--yi, имеем ~ = е*•еУ¹=е^х(cosy--i sinj')» откуда следует, что модуль функции е* равен е*. При любом действительном значении х выражение е^х не равно нулю, а следовательно, е^г не может сделаться нулём.

Определим, наконец, все те точки плоскости, в которых sin z и cos z обращаются в нуль. В силу формулы (46'), равенство sinz=0 равносильно уравнению: е**=е“^1гу или «***== 1. Полагая z = а -|- р/, находим:

В уравнении (53) справа стоит единица, а слева — комплексное число, модуль которого равен е“²Р, аргумент же 2а. Следовательно, имеем: ?-20=1, 2а = 2тг/е, где k — Любое целое число, откуда находим: Р = 0, а = тг&. Итак, нули sinz будут: z=a--$i = тг?, где k — любое целое число. Аналогично покажем, что все нули cosz будут:

—J— тт/с, где k — любое целое число.

Заметим, что для комплексных значений аргумента уже нельзя более утверждать, что |sinz|^l и |cosz|^l. В самом деле, например, sin/= 1,17520/, cos/= 1,54308.

Согласно определению гиперболические синус и косинус будут

Сравнивая формулы (54) и (55) соответственно с формулами (46') и (46), получим:

Эти формулы показывают, что гиперболические синус и косинус могут быть выражены посредством круговых синуса и косинуса, если воспользоваться комплексными числами. Записав формулы (56) и (57) в виде:

и полагая iz = z', имеем:

Отсюда вытекает следующее: любое соотношение между тригонометрическими функциями sin z и cos г переходит в соответствующее соотношение между гиперболическими функциями sh-z и chz, если в этом соотношении мы заменим sin z через ishz, a cos z через ch z.

Таким образом, параллельно формулам обычной тригонометрии мы получаем все формулы гиперболической тригонометрии.

Отметим ещё формулы дифференцирования введённых нами функций. По доказанному в п. 6 этого параграфа производную от суммы степенного ряда можно получить, почленно дифференцируя степенной ряд, т. е.

Таким образом, формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента, остаются в силе и для комплексных значений аргумента.