Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Конформное отображение

Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть w = f(z) есть функции, аналитическая в области (5. Значения функции w = u --vi будем изображать точками в плоскости uv. Каждой точке z = х yi в плоскости независимого переменного z будет соответствовать одна точка w = u--vi в плоскости функции w (фиг. 28 и 29). При движении точки z в плоскости ху по некоторой линии С соответствующая ей точка w будет описывать в плоскости uv линию Г,

Фиг. 28.

Фиг. 29.

являющуюся отображением линии С. Пусть 20 — произвольная точка области G и С—линия, данная вместе' со своим направлением, выходящая из этой точки и имеющая определённую касательную в точке zQ. Предположим, что /'(г0)ФО. В плоскости uv линии С будет соответствовать как её отображение линия Г, выходящая из точки w^=f(z0). Если уравнение произвольно выбранной линии С есть z—z(t) (О ^ 1), то уравнение линии Г получим, если заменим в равенстве w = f(z) переменное z через z{t) w=f[z(t)] = w(t) (O^t^ 1).

Чтобы выяснить геометрический смысл производной /' (z0), представим комплексное число f'(z0) в тригонометрической форме: f'(z0) =

= r(cos a-{-/sin а), и выясним геометрическое значение аргумента а производной и её модуля л Возьмём произвольную точку z0r-Az0 на линии С и обозначим через Aw0 соответствующую ей точку на плоскости uv, лежащую на линии Г. При стремлении точки z0--Az0 по линии С к точке z0 соответствующая ей точка w0--Aw0 движется по линии Г к точке w0, причём Az0 и Aw0 одновременно стремятся к нулю. Из равенства

находим:

<с точностью до кратных 2тт). Здесь входит требование, чтобы /' (г0)фО, так как в противном случае а не имел бы определённого значения. Рассмотрим ближе равенство (60). Так как аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя, то

и равенство (60) примет вид:

Выясним геометрический смысл равенства (60'), пользуясь фиг. 28 и 29. Очевидно, &z0 = (z0 -J-Az0)— z0 изображается вектором, соединяющим точку z0 с точкой z0 Дг0; также lw0 есть вектор, идущий от точки w0 к точке w0--Aw0. Следовательно, argAz0 есть угол <р между положительным направлением оси Ох с соответствующим вектором Дг0, a argA'O'o есть угол Ф оси Ои с вектором kw0. Таким образом, равенство (60') будет вида:

В пределе направление вектора z0 совпадает с направлением касательной к линии С в точке z0 (фиг. 28), а направление вектора Aw0— с направлением касательной к линии Г в точке w0 (фиг. 29), которая необходимо должна существовать вследствие равенства (60"). Обозначая через ф и Ф углы осей Ох и Ои соответственно с касательными к линиям С и Г в точках z0 и w0, перепишем (60*) таким образом:

Будем считать положительные направления осей Ох и Ои совпадающими между собой. Тогда из равенства (61) усматриваем, что а есть угол, на который поворачивается касательная к линии С в точке z0 при отображении с помощью w — f(z), или, иначе, а есть угол между первоначальным и отображённым направлениями. Существенно важно заметить, что линию С мы берём произвольной; при изменении направления линии С будут изменяться ф и Ч*, но а остаётся постоянным. Следовательно, проводя из точки z0 другую линию С и обозначая соответствующую ей линию, выходящую из точки w0, через Г' (фиг. 28 и 29), мы можем заключить, что равенство (61) остаётся в силе для этой пары линий. Оно примет вид:

где ф' и Чг суть значения, соответственно, ф и Ч* для линий С' и Г'. Вычитая (61) из равенства (61'), получим:

Заметив, что ф' — ф обозначает угол между касательными в точке z0 к линиям Си С', а Ч*'— Ч*— соответствующий угол для Г и Г, усматриваем из равенства (62) следующее: две произвольные линии, выходящие из точки z0, отображаются в две соответствующие линии, выходящие из точки w0 = f(z0)} так что угол между касательными к данным и отображённым линиям будет один и тот же как по величине, так и по направлению. Это значит, что если положительное направление линии С в точке z0 переволится в положительное направление линии С' путём поворота на некоторый угол в определённом направлении, то соответствующее направление линии Г переходит в направление линии Г' путём поворота на тот же угол и в том же направлении. Итак, отображение с помощью аналитической функции обладает свойством сохранения (консерватизма) углов во всех точках, где производная f'(z) не равна нулю.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>