Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Геометрический смысл модуля производной.

После того как мы выяснили геометрический смысл аргумента производной, обратимся к рассмотрению её модуля. Равенство (59) может быть записано так:

Геометрически z0 обозначает длину вектора Дz0, т. е. расстояние межлу точками z0 и ^г0 —Д^0 (фиг. 28); аналогично [Дга>0! есть расстояние между соответствующими точками w0 и w0 -{- &w0 (фиг. 29). Равенство (59 ) показывает, что отношение бесконечно малого расстояния между отображёнными точками к бесконечно малому расстоянию между первоначальными точками, в пределе равное /?=[/'(20)|, не зависит от направления линии С. Из этого ясно, что r=f'{z0) можно рассматривать как величину искажения масштаба в точке z0 при изображении с помощью функции w=f(z). Если 1, то масштаб увеличивается, т. е. происходит растяжение произвольного бесконечно малого элемента, выходящего из точки z0; если 1, то, наоборот, сжатие; при /*= 1 масштаб остаётся неизменным, т. е. бесконечно малый элемент, выходящий из точки z0, заменяется ему эквивалентным бесконечно малым элементом, выходящим из точки w0.

Так как r=f (zQ) зависит только от z0 и не зависит от направления линии С, то искажение масштаба в данной точке z0 будет одно и то же независимо от направления. Таким образом, можно сказать, что изображение с помощью аналитической функции w = f(z) обладает в каждой точке г0, где /'(z0) Ф О, постоянным растяжением, не зависящим от направления.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>