Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Конформное отображение.

Итак, всякое аналитическое отображение, т. е. изображение, устанавливаемое с помощью аналитической функции w = f(z)t обладает в каждой точке zQi где f'(z0) ф 0, двумя свойствами:

  • 1) консерватизма углов,
  • 2) * постоянства растяжений.

Если мы возьмём в плоскости комплексного переменного z бесконечно малый треугольник, одна из вершин которого находится в точке z0% то ему в плоскости переменного w будет соответствовать бесконечно малый криволинейный треугольник с вершиной в точке w0 (фиг. 30 и 31). Соответственные углы в этих треугольниках будут равны в силу свойства консерватизма углов; отношения же соответственных сторон

Фиг. 30.

Фиг. 31.

с точностью до бесконечно малых, будут равны одному и тому же постоянному числу г ф 0. Такие два бесконечно малых треугольника называются подобными между собой. Итак, аналитическое отображение будет отображением подобия в бесконечно малом [вблизи каждой точки, где /' (z) Ф 0]. Отсюда является естественным назвать отображение, обладающее свойствами консерватизма углов и свойством постоянства растяжений, конформным отображением.

Резюмируя исследование, произведённое в п. 1 и 2, мы скажем: всякое отображение, устанавливаемое с помощью аналитической функции w = f{z)y есть конформное во всех точках, где производная этой функции не равна нулю. Из предыдущего легко видеть, что и обратно, если однозначная функция w=)(z) даёт конформное отображение, то функция /(z) будет аналитической, с производной, не равной нулю.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>