Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Главная часть отображения w = f(z).

Предположим, что функции и (х, у) и v (х, у) имеют полные дифференциалы в точке z0 = х0-}-iy0; рассмотрим линейную часть отображения w = u--iv бесконечно малого круга с центром в точке z0. Под линейной частью отображения и = и(у)9 v = v(x9 у) мы понимаем

где величины, входящие в (63), имеют следующие значения: Окружность радиуса р с центром в точке z0:

переходит на плоскости (и, v) в кривую, уравнение которой получим, исключая ср из равенств:

Выполнив это исключение, найдём:

где положено: д = ад1atb. Уравнение (64), очевидно, представляет.’ эллипс с центром в точке (и0, г/0), являющийся отображением нашей окружности радиуса р, причём этот эллипс вырождается в двойной прямолинейный отрезок, если д = 0.

Посмотрим, при каких условиях этот эллипс превращается в окружность, т. е. при каких условиях преобразование (63) переводит окружность плоскости (лг, у) в окружность же плоскости (и, v). Условия обращения эллипса (64) в окружность будут:

причём при $ = 0 вместо окружности мы получим точку. Действительно, в этом последнем случае, пользуясь тождеством

видим, что при $ = 0 условия (65) обращаются в такие: а = Ь = а1 = = Ь1= 0, и следовательно, преобразование (63) вырождается в следующее:

Очевидно, этот частный случай соответствует обращению в нуль производной f(z) в точке z0.

Обращаясь к исследованию общего случая д ф 0, из условий (65) находим:

В данном случае аг--Ь2 Ф 0, потому что $ Ф 0, и, сокращая последнее соотношение на а2-[-?'2, получим &2 = 1, откуда /е==Ч- 1. и следовательно, условия (65) примут вид:

или

Первая группа (66) представляет условия Коши-Римана для точки (лг0, ^о), и при этих условиях преобразование (63) будет:

или

С геометрической точки зрения это линейное преобразование сводится к параллельному переносу, вращению и подобному изменению, т. е. действительно всякая окружность радиуса р плоскости z с центром в точке z0 переходит в окружность с центром в точке w0, причём направление обхода сохраняется.

Итак, условие, необходимое и достаточное для того, чтобы однозначная функция / (г), имеющая полный дифференциал в точке z0, обладала производной но комплексному переменному, отличной от нуля, заключается в следующем: если ограничиться рассмотрением лишь линейной части отображения w = f(z), то всякому кругу плоскости z с центром в точке z0 соответствует круг плоскости w с центром в точке w0 = f(z0) и тем же направлением обхода.

Очевидно, в этом случае мы имеем постоянство растяжений в точке z0 и консерватизм углов, т. е. конформность отображения, что вполне согласуется с результатом п. 3. Обращение в нуль производной f (z) в точке z0 характеризуется тем геометрическим фактом, что круг плоскости z с центром в точке z0 с помощью линейной части отображения w=f(z) переходит в точку w0 и, таким образом, в этом случае конформность нарушается.

Заметим, наконец, что при условиях (67) преобразование (63), очевидно, будет: ww0 = (а -}- ib) (zz0), т. е. сопряжённым с предыдущим линейным преобразованием. С геометрической точки зрения это преобразование характеризуется тем, что круг плоскости z с центром в точке z0 переходит в круг плоскости w с центром в точке w0> причём направление обхода изменяется на обратное. Таким образом, этому случаю (67) соответствует конформное отображение II рода (п. 4).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>