Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

При выяснении геометрического смысла производной (гл. II, § 5„ п. 3) мы видели, что отображение, устанавливаемое с помощью функции w = f(z), аналитической в некоторой области О, является конформным во веек точках г, для которых /' (z) ф 0.

Линейная функция

Целая линейная функция.

Мы начнём с исследования линейной функции вида:

где а и b — некоторые постоянные комплексные числа (д ф 0). Очевидно, что отображение (1) будет конформным во всей плоскости комплексного переменного z(w' = aif:0) и притом взаимно однозначным. Рассмотрим сначала три частных случая, причём ради простоты z и w будем изображать точками на одной плоскости.

Фиг. 33.

Фиг. 34.

2. w = e*z. В таком случае имеем w = z, argw = argza,t.e. точка z переходит в точку w при помощи поворота вектора z около нулевой точки на угол а (фиг. 34). Таким образом, отображение 2 есть не что иное, как вращение около начала координат на угол а. Кроме того, можно написать w = u--vi = (x --yi) (cos а -f- i sin a), откуда находим: u=x cos a — .ysina, v = x sin a --y cos a. Два последних равенства являются известными формулами поворота осей координат.

Фиг. 35.

3.w=rz, где г — действительное положительное постоянное число. В данном случае имеем: w =rz, argw = argzt т. e. точка z преобразуется в точку w, лежащую на прямой Oz на расстоянии от точки О, равном г раз взятому расстоянию точки г. Это — так называемое преобразование подобия с центром подобия в точке О и модулем г (фиг. 35).

Фиг. 36.

Общее преобразование w = az --b производится путём трёх простейших вышеописанных отображений. В самом деле, пусть a=reli. Повернём сначала вектор Oz на угол a: tz,=emi»z. Изменим далее z в г раз: z?*=.rz Наконец, сделаем параллельный перенос точки w = 2ft^-b. Поверка даёт: w = z* -- b = rz' -- b = re* -z b = az Ь. Однако, можно рассматривать отображение, даваемое функциейw = az--Ь, с несколько иной точки зрения. С этой целью найдём комплексное число А, удовлетворяющее следующему условию:

откуда вытекает: АаА = Ь, и, следовательно, А= . Если а ф 1

(когда а=1, то отображение будет простым параллельным переносом), то преобразование (Г) представляет собой вращение около точки А, .соединённое с отображением подобия. Итак, мы можем точку z перевести в точку w либо с помощью параллельного переноса (а= 1), либо (аф 1) при помощи одного вращения

около точки А= j и отображения подобия (фиг. 36).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>