Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Общая линейная функция.

Общее линейное преобразование имеет вид:

где а, b, с и d — постоянные комплексные числа и притом такие, что ad — ^сфО, так как в противном случае наша линейная функция (3) не зависела бы от z. Обратно, z можно выразить через w:

Соответствие, даваемое функцией (3), будет, следовательно, взаимно однозначным. Точке 2г =--будет соответствовать бесконечно удалённая точка плоскости w, а точке w=-^- будет соответствовать

бесконечно удалённая точка плоскости z. Общее линейное преобразование (3) сохраняет углы во всех точках расширенной плоскости комплексного переменного z. Действительно, производная

есть конечное число, не равное нулю , во всякой точке z, zdz--—

с

гф оо, откуда следует инвариантность углов во всех упомянутых точках z. В бесконечно удалённой точке углы также сохраняются,

так как, выполнив подстановку z = —, мы найдём, что функция

"j-т в точке z— 0 есть аналитическая, если сфО, и имеет про-

adbe г. Л

изводную--—, не равную нулю. Если же с = 0, то мы обна-

d

ружим то же самое, рассматривая функцию--т-т при z= оо. На-

QZ О

конец, при z =--— мы также немедленно обнаружим консерватизм

л cz--d

углов, рассматривая функцию — .

Изучим состав общего линейного преобразования (3). Покажем, что это преобразование совершается при помощи вышерассмотренных отображений. Действительно, выполняя деление, мы найдём:

Введя новое переменное z = с (cz + d), мы убеждаемся в доказываемом.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>