Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Круговое свойство линейной функции.

Перейдём теперь к рассмотрению свойств общего линейного преобразования. Оно обладает одним замечательным свойством, характеризующим это преобразование. Это свойство состоит в следующем. Вели точка z описывает окружность на плоскости комплексного переменного z, то точка ад на ад-плоскости описывает тоже окружность или прямую линию. Если же точка z описывает прямую линию, то ад описывает прямую или окружность. Считая прямую линию за окружность бесконечно большого радиуса, мы можем описанное свойство формулировать короче: при линейном преобразовании окружность переходит в окружность, т. е. при таком преобразовании имеет место инвариантность системы всех окружностей.

Как обнаружить это свойство? Очевидно, для этого достаточно показать справедливость доказываемого свойства по отношению к преобразованиям пп. 1 и 2.

Что касается преобразований 1 и 2, то это совершенно ясно из их геометрического смысла (п. 1). Перейдём к преобразованию (3). Уравнение окружности имеет вид:

При А = 0 уравнение (5) изображает прямую линию. Подставляя в

/ггч к v

уравнение (о) вместо х и у их значения — и — , мы получаем в

плоскости w опять уравнение окружности. Итак, в этом случае окружность переходит в окружность. Перейдём, наконец, к преобразованию

w = (п. 2).

Уравнение (5) можно записать в таком виде:

где А и С—действительные постоянные. При преобразовании w= -j- ~в В

получаем: А —А---1—=—J- С7= 0, или, приводя к общему знамена; ^ W

нателю и отбрасывая его, находим:

Уравнение же (5') изображает окружность в плоскости w. [При С=0 уравнение (5 ) представляет прямую линию.]

Итак, мы видим, что при всех четырёх преобразованиях (1, 2, 3 и 4) окружность переходит в окружность, а потому то же свойство будет присуще и общему линейному преобразованию, которое представляет собою комбинацию только что указанных преобразований.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>