Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Инвариантность пары взаимно симметричных точек при линейном преобразовании.

Пусть имеем окружность произвольного радиуса R. Две точки Р и Р' мы называем взаимно симметричными относительно этой окружности, если они лежат на одной полупрямой, выходящей из центра, так, что произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату радиуса R (гл. 1, § 2, и. 5). Возьмём лю ую пару точек, взаимно симметричных относительно данной окружности. Отображая эту окружность с помощью произвольного линейного преобразования, мы докажем, что пара взятых взаимно симметричных точек перейдёт в пару точек, взаимно симметричных относительно отображенной окружности.

Предварительно покажем, что пара взаимно симметричных точек Р и Я' характеризуется тем свойством, что пучок окружностей, проходящих через эти точки, является ортогональным к основной окружности (фиг. 41). В самом деле, через точку Р и произвольную то ку А основной окружности можно провести окружность, ортогональную к основной, и притом только одну (эта окружность превращается в прямую ОЯ, если точка А лежит на этой прямой). Рассматривая точку пересечения Я' построенной окружности с полупрямой ОЯ, из фиг. 41 получаем:

т. е. точки Р и Р' являются взаимно симметричными относительно основ ной окружности. Таким образом, любая окружность, проходящая через точку Р ортогонально к основной, принадлежит пучку окружностей, проходящих через точки Р и Р Обратно, произвольная окружность этого пучка пересекает основную окружность в некоторой точке А (ибо точка Р лежит внутри, а точка Р' — вне основного круга) и, следовательно, совпадает с некоторой окружностью, ортогональной к основной.

Фиг. 41.

Обращаясь теперь к доказательству теоремы настоящего пункта, заметим, что линейное преобразование переводит данную окружность и пучок ортогональных к ней окружностей, проходящих через точки Р и Р', в некоторую другую окружность (п. 4) и пучок ортогональных к ней окружностей, проходящих через соответствующие точки Q и Q'. По доказанному, точки Q w Q' взаимно симметричны.

В частности, если данная окружность переходит при линейном преобразовании в прямую, то центры всех окружностей преобразованного ортогонального пучка лежат на этой прямой.

Отсюда следует, что соответствующие точки Q и Q' симметричны к этой прямой.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>