Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Характер преобразования круга самого в себя.

Всякое линейное преобразование, -которое сохраняет окружность вместе с ограниченной ею областью, необходимо должно быть эллиптическим,, гиперболическим или параболическим (но не локсодромическим). Обратно, для всякой окружности можно найти линейные преобразования этих различных видов, которые сохраняют эту окружность и не обращаются в бесконечность внутри неё.

В самом деле, достаточно сначала произвольно выбрать двойные точки, симметричные относительно данной окружности или расположенные на окружности (различные или слившиеся в одну), затем определить параметр К или h так, чтобы линейная подстановка обращалась в бесконечность в точке, заданной вне окружности. Тогда, очевидно, внутренности окружности будет соответствовать она сама, и положительное направление на контуре сохраняется. В эллиптическом преобразовании двойные точки будут симметричными относительно данной окружности. Окружности пучка, для которых двойные точки являются симметричными, будут инвариантными, а также инвариантными будут кольца, ограниченные двумя из них (фиг. 44).

С точки зрения проективной геометрии в этом случае на инвариантной окружности устанавливается проективное соответствие с мнимыми двойными точками, так что точки окружности перемещаются в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Если преобразование гиперболическое, то двойные точки находятся на основной окружности, и окружности пучка, проходящего через эти двойные точки, будут инвариантны; следовательно, будут неизменяемыми луночки, ограниченные двумя дугами окружностей с оконечностями в двойных точках zlt z2 (фиг. 45).

Фиг. 44.

Фиг. 45.

Фиг. 46.

С геометрической точки зрения на инвариантной окружности устанавливается проективное соответствие с действительными двойными точками и z2. На всякой дуге ztz2 преобразование осуществляет перемещение точек окружности в направлении от zi к z2f если z, — отталкивающая точка, a z2 —притягивающая. Окружности, касательные к основной в каждой из двойных точек, переставляются между собою. Очевидно, в отталкивающей точке достаточно малые окружности увеличиваются при помощи преобразования, в притягивающей же точке — уменьшаются.

В силу исследования соответствия на инвариантной окружности, заключаем, что предыдущее предложение справедливо для всех окружностей, внутренних к основной и касательных в двойной точке, а не только для достаточно малых.

Если преобразование параболическое, то имеется одна двойная точка на окружности, и касательные к ней окружности в двойной точке являются неизменяемыми. Следовательно, будут неизменяемыми также круговые луночки, ограниченные двумя соприкасающимися в двойной точке окружностями (фиг. 46). С геометрической точки зрения на инвариантной окружности устанавливается проективное соответствие со слившимися двойными точками; преобразование осуществляет переменное перемещение всё время в одном направлении.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>