Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычисление неевклидова расстояния двух точек с данными аффиксами.

Обозначим аффиксы данных точек через zlt z2 и выполним неевклидово перемещение, переводящее гх в центр О окружности Г (фиг. 49). Если Г есть единичная окружность, a w2 — точка, соответствующая точке *2» и 12| = то

Рассмотрим неевклидовы прямые, выходящие из точки Р, и изучим их расположение относительно неевклидовой прямой Д, не содержащей А Вводя окружности Ра, Р}, касательные к Д в точках a, {J, мы видим, что неевклидовы прямые, выходящие из Р, разделяются на два класса: встречающие Д и её не встречающие; последние принадлежат некоторому углу, заштрихованному на фиг. 48, ограниченному параллельными прямыми Ра, Р$. Так как условие параллелизма , выражается при изображении условием встречи в гоч-

Фиг. 48.

В самом деле, при неевклидовом перемещении неевклидова прямая zxz2 переходит в прямую Ow2, причём D(zlt z2) = =D(0,wо). С другой стороны посредством враще ия около точки О точка w2 переходит в точку с аффиксом г, и, значит, 6(0, w2) = D(0, г).

Фиг. 49.

Окончательно находим:

что и нужно было доказать.

Итак, чтобы выразить D {zb z2) через аффиксы точек ZyHz.2, остаётся сделать это для г = w,.

Заметив, что линейное преобразование, пере - водящее гх в центр окружности Г и сохраняющее эту окружность, есть

находим: w2 = е^—-==, и, значит, г = w2 = ——-= . Итак, мы полу-

l—z2zl 11 — Z2Zi

чили следующую формулу для вычисления неевклидова расстояния между двумя точками с данными аффиксами гх и z2:

где

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>