Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Евклидово изображение геометрии Лобачевского на полуплоскости.

Вместо того, чтобы изображать геометрию Лобачевского на внутренности G единичного круга, как мы это делали до сих пор, можно выполнить это изображение на верхней полуплоскости. Для этого достаточно совершить линейное преобразование области G единичного круга на верхнюю полуплоскость (z) и за новое изображение всех элементов геометрии Лобачевского принять им соответствующие элементы при этом линейном преобразовании.

Таким образом, неевклидовыми точками будут точки верхней полуплоскости, бесконечно удалёнными неевклидовыми точками будут точки действительной оси и бесконечно удалённая точка плоскости (z). Далее неевклидовы прямые изобразятся полуокружностями и полупрямыми, ортогональными к действительной оси, неевклидовы окружности — окружностями, лежащими в верхней полуплоскости, горициклы — окружностями, касательными к действительной оси, и прямыми, ей параллельными; наконец, гиперциклы изобразятся лежащими в верхней полуплоскости дугами окружностей, проходящих через любые две точки а, р действительной оси, а также пучками полупрямых верхней полуплоскости, выходящими из любой точки действительной оси. Что касается формул, выведенных выше для неевклидовых расстояний между двумя точками, длины и площади, то они примут более простой вид. Их выражения можно получить, отправляясь от ранее полученных, производя вышеуказанное линейное преобразование:

где /(Р)>0.

Так, из формулы (26) мы получим:

потому что г = I ——— = ——= в силу линейного преобразования.

11 — o/2Wi | | гг — zx I

Полагая в формуле (26')zl = z, z2 = z--&z и считая &z бесконечно малым,

. ds п

получим иля элемента дуги неевклидову длину к —. В самом деле,

Таким образом, неевклидова длина дуги L, лежащей в верхней полуплоскости,

будет:

Наконец, вместо формулы (28) для неевклидовой площади области d, лежащей вместе со своей границей в верхней полуплоскости, найдём;

D С, С) к , 1C

для радиуса/- имеем: г= -^“ Нус-»

потому что ангармоническое отношение чегы-

IC

рёх точек /, оо, С, С на прямой 1C равно . Для сокращения письма положим:

так что — = е а

Полуокружность имеет неевклидову длину:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>