Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ

§ 1. Интегралы по комплексному переменному

Понятие интеграла по комплексному переменному.

Перейдём к определению понятия интеграла в комплексной области. Пусть w=:f(z) есть произвольная непрерывная функция комплексного переменного z, определённая в некоторой области О плоскости переменного z, и С — произвольная гладкая линия, лежащая в этой области, с началом в точке z0 и концом в точке Z (фиг. 72) [1]). Разобьём дугу z0Z линии С на произвольное число п частичных дуг с помощью точек * ...,zn_vzn = Zy расположенных последовательно в положительном направлении линии С. Каждой частичной дуге приведём в соответствие число f(zk) АгЛ, полученное от умножении значения данной функции в левом конце этой дуги на соответствующее этой

Фиг. 72.

дуге приращение zk переменного z: Aza = Z*+1zk. Составим, далее, сумму всех таких произведений, распространив её на все частичные дуги:

Заставляя максимум длин всех частичных дуг стремиться к нулю, докажем, что выражение (1) стремится к определённому конечному пределу, не зависящему от того закона, по которому все частичные дуги стремятся к нулю. С этой целью, введя обозначения:

представим выражение (1) в виде:

Заставляя максимум длин всех частичных дуг стремиться к нулю, мы видим, что обе суммы правой части последнего равенства (2) стремятся соответственно к пределам: udxvdy и i[vdx -j- и dy сле-

С t

довательно, левая часть равенства (2) стремится к определённому конечному пределу, когда длины всех частичных дуг по произвольному закону стремятся к нулю. Этот предел мы назовём интегралом от /(z)dz вдоль линии С и обозначим через ^/{z)dz. Итак, имеем:

с

Эта формула даёт выражение интеграла по комплексному переменному через два действительных криволинейных интеграла. Формулу (3) легко запомнить, если записать в таком виде:

Что касается фактического вычисления интеграла по комплексному переменному, то, предполагая уравнение линии С в виде z=z(t)(a< р), имеем:

или

где R(t) и / (/) суть соответственно действительная часть и коэффициент при мнимой части' выражения f[z(t)]z' (/). На основании формулы (4') вопрос вычисления интеграла по комплексному переменному приводится к вычислению обыкновенных определённых интегралов.

До сих пор мы предполагали, что путь интегрирования С есть гладкая линия. Если мы имеем произвольную кусочно-гладкую линию Г, состоящую из гладких линий С,, С2, ...» Сл, то по определению полагаем:

Очевидно, формула (4'), выражающая интеграл по комплексному переменному с помощью обыкновенных определённых интегралов, остаётся в силе и для интеграла, взятого вдоль линии Г.

Замечание. Определение интеграла по комплексному переменному, очевидно, остаётся в силе, если данная функция f(z) непрерывна лишь вдоль линии Г.“

Пример. Пусть Г—произвольная кусочно-гладкая линия, соединяющая две точки z0 и Z. Тогда интеграл:

если п есть целое число, отличное от —1. (При отрицательном п линия Г не должна проходить через точку г = 0). В самом деде, пусть (f) (а ^ ^ р) есть параметрическое изображение линии Г; тогда имеем:

Таким образом, значение интеграла от функции гл(лф—- 1) не зависит от пути интегрирования. В частности, если Г есть замкнутый контур, то Z=2-0 и

  • [1] Линия Жордана называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Аналитически гладкая линия может быть представлена уравнением * = *(*), где У{t) непрерывна и отлична от нуля, причём 2г(^)фл(/2), если АФ**» кроме, быть может, случая t = а,*,= р. Линия Жордана называется кусочно-гладкой, если она состоит изконечного числа гладких дуг (простейший пример кусочно-гладкой линии —контур многоугольника).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>