Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основные свойства интеграла по комплексному переменному.

Отметим теперь ряд простейших свойств интеграла по комплексному переменному, непосредственно вытекающих из его определения:

1)

где Г+ и Г" обозначают один и тот же путь, проходимый соответственно в положительном и отрицательном направлениях. «

если путь интегрирования Г описывается движущейся точкой, проходящей последовательно его части 1, Г2, Гд.

  • 2)
  • 3)

4)

Все эти четыре свойства немедленно доказываются, исходя из определения интеграла как предела суммы, аналогично соответствующим свойствам обыкновенных интегралов.

5) Если вдоль линии Г имеет место неравенство: |/(г)|^Л1, где М есть постоянное число, то, обозначая через / длину линии Г, имеем:

/

Действительно:

k=n—1

так как 2 zk обозначает длину ломаной, вписанной в Г.

к

Переходя к пределу, из последнего неравенства получим:

6) Свойство 5) есть частный случай неравенства:

Это вытекает из неравенства: переходом к пределу.

Интегрирование равномерно сходящегося ряда.

Свойство 4) предыдущего пункта показывает, что интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от их слагаемых. Из интегрального исчисления известно, что, вообще говоря, нельзя интегрировать почленно бесконечный ряд функций, даже если он сходится к непрерывной функции. Однако, интеграл суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций может быть определён через почленное интегрирование.

Как известно (гл. II, § 2, п. 2), сумма равномерно сходящегося на линии Г ряда непрерывных функций:

есть функция, непрерывная на Г. Из условия равномерной сходимости ряда (6) вдоль линии Г следует, что при любом е (е 0) существует число Af=N(e) такое, что сумма л первых членов ряда (6): sn(z) = = и, (z)--u2(z)--.. .-^-un{z) отличается от суммы ряда $(г) по модулю меньше, нежели на е, вдоль Г, как только n^N=N(e) (гл. II, § 2, п. 1).

Следовательно, если положим:

то вдоль Г имеем:

Обозначая через / длину линии Г, получаем в силу (8), на основании свойства 5) (п. 2):

или

т. е.

Равенство (9) иначе может быть записано в таком виде:

Доказанное предложение может быть ещё формулировано таким образом: если вдоль пути интегрирования последовательность непрерывных функций sn (z) сходится равномерно к функции s (z), то имеем:

Примечание. Это предложение может быть расширено следующим образом. Пусть равномерно для всех точек «г, принадлежащих пути интегрирования Г, имеем, lim f(z, t) = f(z), где f(z, t) и f{z) суть функции, непрерывные вдоль Г. Другими словами, для любого сколь угодно малого е (е > 0) существует число 8 = 8(e) такое, что [/(*, t)f{z)]<е при условии 11 — т | < 8, считая z произвольной точкой на Г.

Поступая аналогично предыдущему доказательству, получим:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>