Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Коши.

Из определении интеграла от непрерывной функции f(z) следует, что его значение зависит, вообще говоря, не только от подинтегральной функции, но и от пути интегрирования Г. Иными словами, соединяя точки z0 и Z двумя различными линиями Г и Г', принадлежащими односвязной области G, и вычисляяf(z)dz вдоль каждой из этих линий, мы получим, вообще говоря, разные числа. Естественно возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(z) для того, чтобы значение её интеграла не зависело от пути интегрирования, а определялось лишь положениями начальной и конечной точек этого пути? Легко показать, поступая так же, как в случае действительных криволинейных интегралов, что эта задача об условиях независимости интеграла от пути интегрирования равносильна задаче нахождения условий, при которых данный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю. Решение этой задачи мы можем поставить в зависимость от соответствующей задачи для действительных криволинейных интегралов, вследствие того, что интеграл по комплексному переменному выражается через два * действительных криволинейных интеграла. Итак, предположим, что функция j(z) = u (х, y)--v(x> y)i, аналитическая в односвязной области О, имеет в каждой точке этой области непрерывную производную. Отсюда следует, что функции и и v непрерывны в области G вместе с их частными производными, которые удовлетворяют уравнениям (гл. II, § 4, п. 4):

Обозначая через Г произвольный замкнутый контур, лежащий в области G, и замечая, что в силу формулы (3):

мы имеем на основании известной теоремы ,):

*) См., например, К. А. Поссе, Курс интегрального исчисления, гл. VI, § 2 (изд. 2), или В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, п. 71, (изд. 6).

так как и

так как

Вследствие равенств (12) и (12') формула (11) принимает вид:

Итак, мы доказали, что если функция f(z), однозначная в односвязной области G, имеет в каждой точке этой области непрерывную производную, то интеграл от этой функции, взятый вдоль любого замкнутого контура, принадлежащего области G, равен нулю. Это предложение является основным в теории аналитических функций и называется теоремой Коши. В изложенном доказательстве теоремы Коши существенно предположение непрерывности производной функции f(z). Однако, это ограничение не является необходимым для справелливости этой теоремы, и в следующей главе мы изложим другое доказательство теоремы Коши, предполагая лишь существование в области G конечной производной функции f(z). Таким образом, мы установим предложение Коши для любой функции f(z), аналитической в области G.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>