Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Коши

Основная лемма.

Пусть f(z) есть непрерывная функция, определённая в некоторой области G плоскости комплексного переменного z, и Г — произвольная кусочно-гладкая линия, лежащая в этой области. При любом сколь угодно малом е (е0) существует ломаная линия Р, вписанная в Г, целиком лежащая в области G, такая, что

т. е. значение интеграла [ f(z)dz можно аппроксимировать с любой f

степенью точности посредством значения того же интеграла, взятого вдоль ломаной линии Р, вписанной в Г и лежащей в области G.

Для'доказательства рассмотрим замкнутую область D, часть области G, содержащую внутри линию Г. Так как по условию функция f(z) непрерывна в каждой точке области D, то она равномерно непрерывна в этой области (гл. II, § 1, п. 4). Следовательно, при любом сколь угодно малом е (е 0) существует число Ь = § (е) такое, что

если |z' — причём z' и 2? суть любые две точки области/).

Разобьём линию Г на п дуг s0, sl9 .... sn_t, длина каждой из которых была бы меньше д, и впишем в линию Г ломаную линию Я,

Фиг. 73.

звенья которой /0, , /я_, стягивают эти дуги. Обозначим вершины ломаной линии Я через *0ги •••• ^я-i (фиг. 73).Так как длина каждой дуги sk меньше д, то расстояние между любыми двумя точками одной и той же дуги и подавно меньше д. То же самое будет для наших звеньев

1к. Сравним теперь значение J/(z)X

г

Xdz со значениемт ого же интеграла вдоль ломаной линии Я. С этой целью рассмотрим сумму, являющуюся приближённым значением j / (z) dz:

Заметив, что kzh = ^ dz> представим выражение (15) в виде:

Sk

С другой стороны, интеграл f(z)dz можно представить как сумму интегралов, взятых по дугам sk:

Производя почленное вычитание равенств (16) и (15'), получим:

Замечая, что на каждой дуге sk имеем |f(z)f(zk)|<е, получаем: где / есть длина всей линии Г,

Поступая аналогично, оценим модуль. разности f(z)dz— 5.3а-

р

метив, что hzk = ^ dzt представим выражение (15) в виде:

С другой стороны, интеграл f(z)dz можно представить как сумму интегралов, взятых по звеньям lk

Вычитая почленно из равенства (16') равенство (15"), получим:

Так как на каждом звене lk имеем: | f(z)f(zk)|'<е, то находим: Из неравенств (17) и (18) получаем:

Итак, всегда возможно вписать в линию Г ломаную линию Р так, что разность значений ^ f(z)dz вдоль Г и вдоль Р будет по модулю меньше произвольно малого положительного числа.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>