Понятие неопределённого интеграла в комплексной области.

Из доказанной теоремы Коши, как было указано в § 1, п. 4, вытекает следующее предложение:

Если функция f(z) есть аналитическая в односвязной области G, то значение интеграла J f(z) dzt взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии Г, принадлежащей области G, не зависит от линии Г, а определяется лишь положениями начальной и конечной

точек этой линии. Другими словами, значение интеграла ^f(z)dz не

Фиг. 76.

изменится, если мы будем произвольно деформировать линию Г, не выходя за пределы области G, оставляя её начало и конец неподвижными.

Рассмотрим выражение:

где за путь интегрирования можно взять произвольную кусочно-гладкую линию Г, соединяющую точки z0 и z, лежащую в данной односвязной области G. Вследствие выше упомянутого предложения значение функции /?(г)не будет зависеть от пути интегрирования, и, следовательно, F(z) есть однозначная функция, определённая в области G. Покажем, что в каждой то ке z области G функция F(z) имеет производную, равную f(z). Действительно, обозначая через z--h любую точку области G, лежащую в произвольно малой окрестности точки z, рассмотрим разность:

причём за путь интегрирования в последнем интеграле можно взять прямолинейный отрезок, соединяющий точки z и z--h (фиг. 76). Разделив равенство (30) на Л, находим:

Заметив, что имеем:

вычтем из равенства (30') равенство (31); тогда мы получим следующее:

Вследствие непрерывности функции f(z) в точке г, при любом сколь угодно малом е(е^>0) существует число $ = $(е) такое, что имеем: | /(С)—/(z)Ke, если|$— z|<$. Следовательно, если считать, что |А|<^$, то модуль подинтегральной функции в интеграле (32) будет меньше s. Таким образом, из равенства (32) находим:

при | Л | в, т. е.

или

Итак, интеграл от функции /(z), аналитической в односвязной области О, рассматриваемый как функция своего верхнего предела, есть функция, аналитическая в той же области, производная которой равна подинтегральной функции.

Замечание. Эго доказательство основано лишь на двух свойствах функции / (z):

  • 1) /(z) есть непрерывная функция в области О,
  • 2) f(z)dz, взятый вдол любого замкнутого контура, лежащего в G, равен нулю.

Z

При этих условиях F{z) = ^ /(C)dt есть функция, аналитическая в обла-

г0

«сги и, причём F'(z)=/(z). Этим замечанием мы впоследствии воспользуемся.

Назовём неопределенным интегралом или примитивной функцией от /(z) всякую функцию Ф (z), удовлетворяющую всюду в области G условию:

г

Согласно изложенному F(z)=§ /(Z)d* является примитивной

г0

•функцией для функции /(z). Покажем, что любая примитивная функция Ф(г) будет иметь вид:

«где С есть произвольное постоянное.

Действительно, из равенств (34) и (33), путём их вычитания, •следует:

где через ^(z) обозначена разность Ф (z) — F(z).

Полагая ф (г) = и (*, у) -J- v (х, у) i и замечая, что cj>'(z) = jj-|-J-~j==^— (гл. II, § 4, n. 4), получаем вследствие равенства (36):

в области G. Следовательно, функции и и v суть постоянные в области G, а потому имеем:

откуда

Таким образом, понимая под Ф(г) одну из примитивных функций для функции f(z), перепишем равенство (35) в виде:

Полагая здесь z=z0l получим: С=Ф{г0). Заменяя в равенстве (35) постоянное С найденным значением, получим:

Формула (37) выражает определённый интеграл через неопределённый. Итак, ограничиваясь функциями, аналитическими в односвязной области G, мы видим, что подобно'обыкновенным интегралам интегрирование по комплексному переменному можно рассматривать с двух точек зрения: 1) как процесс суммирования, 2) как действие, обратное дифференцированию.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >