Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров.

Пусть Г есть произвольная замкнутая кусочно-гладкая линия и f(z) — функция, аналитическая внутри Г, а также в каждой точке линии Г. В этом случае имеем:

Действительно, около каждой точки, лежащей внутри Г или на Г, можно описать, как около центра, круг, внутри которого данная функция f(z) есть аналитическая. В силу леммы Гейне-Бореля (гл. II, § 1, п. 4) существует конечное число таких кругов, содержащих внутри себя все точки замкнутой области с границей Г. Совокупность точек, лежащих внутри этих кругов, представляет область G, содержащую линию Г вместе с внутренними точками. В области G функция f(z) есть аналитическая, причём внутри Г нет граничных точек области G, а потому вследствие теоремы Коши имеем равенство (38).

Рассмотрим теперь п-1-1 замкнутых кусочно-гладких линий Г0, Г ..., Гп таких, что каждая из линий Г Г2, ...» Гя лежит вне остальных и все они расположены внутри Г0. Множество точек плоскости, лежащих одновременно внутри Г0 и вне линий Г,, Г2, ..., Гп9 будет представлять п--1 -связную область D, граница которой состоит из линий Г0, Г|Э ...» Гп. В этом случае мы скажем, что граница области D представляет собой сложный контур Г = -{- Г~ -f-

I”, состоящий из линии Г0> проходимой в положительном направлении, и остальных линий Г,, Г2, ..., Гл, проходимых в отрицательном направлении. Другими словами, если точка движется но сложному контуру Г, то точки области D остаютс i с левой стороны

Фиг. 77.

(фиг. 77). Предполагая функцию f(z) аналитической в замкнутой области D* мы покажем, что

где положено:

В этом заключаете ! обобщение теоремы Коши на случай сложного контура.

Для доказательства соединим линии Г0, Г,, ..., Г в циклическом

порядке с помощью вспомогательных линий (фиг. 77: ад, cd, ef) и рассмотрим две замкнутые линии: 'i = arnfendcpba и у' = abp'cdn'eftn а. Так как функция )(z) согласно условию будет аналитической как внутри, так и на каждой из этих линий у и у', то по доказанному имеем:

Складывая между собой последние два равенства, окончательно получим:

потому что интегрирования по вспомогательным линиям (ab, cd, ef) совершаются два раза в противоположных направлениях, а потому уничтожаются.

Доказанное равенство (39) можно также записать в виде:

где интегрирование совершается в положительном направлении линий Г0, Tj, ...» Гя. В самом деле, заметим, что в силу равенства (39) имеем:

перенесём все члены равенства (39"), кроме первого члена, в правую часть и изменим в этих членах направление интегрирования, тогда получим формулу (39').

В частности, если замкнутая линия Г0 содержит внутри себя замкнутую линию Г и функция f(z) будет аналитической как между этими линиями Г0 и Г,, так и на самих линиях, то значение интеграла f(z)dz вдоль любой из этих линий будет одним и тем же числом.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>