Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

О предельных значениях интеграла типа Коши.

Пусть С есть произвольная гладкая замкнутая линия и функция cp(z) — аналитическая на линии С, т. е. в каждой точке этой линии; тогда интеграл типа Коши представляет функцию F(z), аналитическую всюду внутри контура С, и функцию Fx(z), аналитическую всюду вне С.

Мы докажем, что функция

(или Fx {z) = ^ J V^Jv)стремится к определённому конечному пре-

с

делу, когда точка z приближается, оставаясь внутри С (или вне С), к произвольной точке z0 контура С. Эти предельные значения интеграла типа Коши (60') образуют, следовательно, функцию <Р/(г0)» определённую во всех точках zQ контура С (соответственно функцию ^(г0), если точка z приближается к точке г0, оставаясь вне С), которая, как мы покажем, будет аналитической во всех точках z0 и тесно связана с граничной функцией <р (z0). В интеграле типа Коши

под z мы понимаем точку, лежащую внутри контура С. Естественно возникает вопрос, можно ли рассматривать значение интеграла типа Коши на контуре С, т. е. какой смысл имеет выражение:

При обычном понимании процесса интегрирования формула (61) лишена смысла, так как функция - не интегрируема, вообще го-

ч Zq

Фиг. 82.

воря, вдоль С, когда то «ка z0 находится на линии С. Потому мы должны прежде всего определить смысл выражения (61). С этой целью опишем из точки z0, как центра, окружность сколь угодно малого радиуса е и обозначим через з наименьшую дугу линии С, отсекаемую этой окружностью, содержащую точку 20 (фиг. 82).

Выкидывая из линии С дугу з, обозначим оставшуюся часть линии С через С . Выражение

имеет смысл при любом s^>0, так как функция -- есть непре-

ч zt)

рывная вдоль Св. Заставляя s стремиться к нулю, покажем, что выражение (62) стремится к определённому конечному пределу, который мы примем за значение интеграла (61).

Действительно, замкнём линию С6 с помощью дуги ct построенной окружности, лежащей вне С (фиг. 82). Таким образом, мм получим кусочно-гладкий замкнутый контур Гв = Св-|-св, для которого точка z0 будет внутренней. Рассмотрим теперь интеграл типа Коши:

где z — точка внутри контура С.

«(О

Так как функция у-- есть аналитическая на контурак С и

ч Z

Гве-}“?*’ а т0кже между ними, то по теореме Коши имеем:

Переходя в этом равенстве к пределу при z*z0, получим:

Эта формула показывает, что предельные значения Q,{z0) интеграла типа Коши существуют в каждой точке контура С и образуют функцию, аналитическую на контуре С.

Чтобы найти зависимость этой функции (z0) от граничной функции <р(.г0), мы должны в формуле (63) перейти к пределу, заставляя е стремиться к нулю. Предварительно вычислим тот предел,

1 Г Г (СМС

к которому стремится при этом интеграл у-.

1тл j

Полагая в последнем интеграле

вдоль дуги сг окружности, имеем: d^ = izelb db. Кроме того, положив

мы видим, что на ct модуль 7j стремится к нулю вместе с е. Итак, получаем:

Так как то найдём:

Переходя к пределу при е —?О, из равенства (63) мы усматри- 1 Р*(С)Л

ваем, что выражение ^ j-стремится при этом к определён-

Z"Xl J С 2п

С.

ному конечному пределу, который мы условились обозначать через 2^ ^ ^ и называть значением интеграла типа Коши в точке z0

контура С. Таким образом, мы видим, что интеграл ^J

имеет вполне определённый смысл, и формула (63) после перехода к пределу при е—?О становится следующей:

Формула (1) даёт выражение предельных значений cp,(z0) интеграла типа Коши изнутри контура С через значения самого интеграла на контуре и данную граничную функцию <р (z0).

Чтобы получить аналогичную формулу для (z0), рассмотрим контур Гв' = С, сш полученный посае замыкания линии Св посредством дуги се' маленькой окружности, лежащей внутри С и проходимой в отрицательном направлении (фиг. 82).

Так как функция у -, где точка z вне С, есть аналитическая

Ч 2

на контурах С и Гв', а также между ними, то по теореме Коши имеем:

Переходя в этом равенстве к пределу при z—+z0, получим:

Из последнего равенства мы усматриваем, что предельные значения ф (z0) подобно cp/(r0) образуют на контуре аналитическую функцию. Замечая, что по формуле Коши будет:

получим отсюда переходом к пределу при е —? такой результат:

О, вследствие (64),

Следовательно, заставляя г стремиться к нулю, из равенства (65) мы получим:

Формула (II) выражает внешние предельные значения ч)е (z0) интеграла типа Коши через граничную функцию 0) и значения интеграла на контуре.

Складывая доказанные формулы (1) и (II) и деля полученное равенство пополам, находим:

т. е. значение интеграла типа Коши в любой точке контура интегрирования равно среднему арифметическому его предельных значений. Вычитая формулы (I) и (II), мы получим:

т. е. значение граничной функции в любой точке контура равно разности предельных значений в этой точке интеграла типа Коши.

Эти формулы (Г) и (1Г) эквивалентны прежним формулам (I) и (II). В частности, если функция y(z) будет аналитической всюду внутри контура интегрирования С, так же как и на С% то интеграл типа Коши становится интегралом Коши; его предельные значения /(.г0) и уе(гЛ в этом случае будут соответственно cp(z0) и 0 [ср. формулу (II')], и значение самого интеграла Коши в точке z0 контура интегрирования С, согласно формуле (Г), будет равно !/2 Q(z0).

Пример. Пусть контуром интегрирования С служит окружность с центром в нулевой точке радиуса единица, а у (Г) = у . В этом случае интеграл типа Коши

если точка z лежит внутри окружности С; если же точка z лежит вне С, то рассматриваемый интеграл типа Коши равен — -i- . Следовательно, для данного сл>чая имеем:

Отсюда по формуле (Г) получаем:

Примечание. Мы исследовали предельные значения интеграла типа Коши, предполагая граничную функцию ? (С) аналитической во всех точках замкнутого контура интегрирования С, между тем как интеграл тина Коши имеет смысл в случае, если ф(С) есть произвольная непрерывная функция вдоль контура интегрирования L (замкнутого или нет), и паже разрывная, при условии её интегрируемости вдоль L. Естественно поставить вопрос о том, как ведёт себя интеграл типа Коши при этих общих условиях, когда

точка z приближается по нормали к точке г0 контура интегрирования. Для исследования нашей проблемы в такой общей постановке необходимо привлечь наиболее сложные и гонкие методы современной теории функций действительного переменного, и мы поэтому лишены возможности изложить указанный вопрос с исчерпывающей полнотой на страницах настоящего руководства. Однако, заметим, что лаже в случае непрерывной граничной функции предельные значения интеграла типа Коши f/(2’0) и yc(z0) не будут, вообще гороря, существовать во всех без исключения точках z0 контура интегрирования. Множество таких исключительных точек контура интегрирования, где не существуют функции f/(z0) или e(z0), есть, по терминологии теории множеств, гак называемое «нуль-множество», т. е. это множество исключительных точек z0 может быть покрыто помощью конечной или бесконечной последовательности неперекрыпающихся открытых дуг, сумма длин которых как угодно мала. Можно доказать, что формулы (I) и (II) остаются в силе для самого общего интеграла типа Коши,' если пренебрегать «нуль-множествами». Кроме того, можно обнаружить в этом случае, что предельное значение (•*илн ?*(*z к точке zq по л юбому пути, не касательному в точке z0 к контуру интегрирования. Исчерпывающее решение этих вопросов читатель может найти в наших книгах «Интеграл Cauchy» (Научные записки Саратовского университета, 1918), а также «Граничные свойства однозначных аналитических функций» (Излание МГУ, Москва,1941Л

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>