Разложение аналитической функции в степенной ряд

геометрической прогрессии:

в точке z можно представить по формуле Коши:

Наша задача состоит в том, чтобы интеграл (18) выразить в виде суммы степенного ряда относительно z—а.

С этой целью преобразуем выражение - - таким образом:

Какова бы ни была точка С на окружности С, модуль дроби ^ будет равен постоянному положительному числу <7(^<^1),

так как имеем: 1 и I =! ~~ — = Я <С * • Следовательно, вы-

|С — и р ^

ражение можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей

Фиг. 84.

? — а

откуда, заменяя и его значением ^ , • получаем:

Подставляя выражение (20) в формулу (19), находим:

Ряд (20), а значит, и ряд (21), сходится равномерно при постоянном z, какова бы ни была точка ц на окружности С, потому что модули его членов представляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель который q не зависит от С (гл. 11, § 2, п. 3). Умножая ряд (21) на /(С), мы, не нарушая его равномерной сходимости, получим:

Интегрируя почленно ряд (22) вдоль окружности С, что мы вправе сделать вследствие его равномерной сходимости (гл. IV, § 1, п. 3), и деля все члены ряда, полученного после интегрирования, на 2тт/, находим:

или, пользуясь формулой (18), перепишем последний ряд так:

где положено;

Коффициенты с_п ряда (23), определяемые по формуле (24), не зависят от z_y потому что за путь интегрирования С в интеграле (24) мы можем принять любой замкнутый контур, окружающий точку <2, лежащий внутри окружности Ку не изменяя при этом значений с_п. Коэффициенты с_п ряда (23) на основании предыдущего пункта могут быть выражены также формулами Тейлора:

Итак, мы доказали, что во всякой точке z внутри окружности К функция f(z) изображается в виде суммы ряда (23), степенного относительно z — а.

Мы называли функцию f(z) аналитической в точке а, если эта функция является аналитической в некоторой окрестности этой топей, т. с. если существует круг с центром в точке а сколь угодно малого радиуса, внутри которого f(z) есть аналити еская функция. Короче, мы будем называть такую точку а правильной тонкой данной функции, а всякую неправильную точку функции f(z) будем называть её особой точкой. Например, для функции всякая точка г, гф 1

будет правильной; точка же z= будет особой.

В предыдущем пункте мы видели, что степенной ряд внутри своего круга сходимости изображает аналитическую функцию f(z), т. е. все точки, лежащие внутри этого круга, являются правильными точками для функции /(-г), изображаемой этим рядом. Что же касается окружности круга сходимости, то на ней будет по крайней мере одна особая точка функции f(z). В самом деле, допустив противное, мы должны предполагать, что все точки окружности круга сходимости степенного ряда суть правильные точки для его суммы f (z). В этом случае каждая точка окружности круга сходимости является центром некоторого круга k, внутри которого функция f(z) будет аналитической. Но лемме Гейне-Бореля (гл. II, § 1, и. 4) можно выбрать конечное число этих кругов образующих область О, так. чтобы каждая точка окружности круга сходимости находилась внутри по крайней мере одного из этих кругов. Обозначая через р наименьшее расстояние от окружности круга сходимости до границы области G, мы видим, что функция /(z) будет аналитической внутри круга, концентрического с кругом сходимости, радиуса На

основании результата настоящего пункта ряд Тейлора функции f (z) должен сходиться внутри этого круга радиуса /?+р, т. е. радиус сходимости данного ряда по крайней мере равен -f- р, что невозможно, так как согласно условию он равен R.

Итак, если точка а есть правильная точка функции f(z), то эта функция разлагается в ряд, степенной относительно z — а в окрестности этой точки, причём окружность круга сходимости рнда имеет центр в точке а и проходит через ближайшую к точке а особую точку функции f(z).

Это предложение устанавливает тесную связь между радиусом сходимости степенного ряда, с одной стороны, и природой функции, изображаемой этим рядом, с другой стороны; оно показывает, что теория степенных рядов получает полную ясность лишь в комплексной области. Так, например, оставаясь в области действительных чисел, нельзя понять, почему ряд

перестаёт сходиться при значениях —1 и х^--, в то время как функция % определена для всех действительных значений

1 -р Л'

независимого переменного х, причём значения х = ± 1 не являются для неё исключительными. Картина этого явления, однако, вполне уясняется с точки зрения комплексного переменного. Действительно.

функция 1 . имеет особые точки при z = -4-/’. а потому радиус сходимости рассматриваемого ряда равен единице.

Пример. Как было ранее показано (гл. IV, § 2, п. 6), функция

Z

In2r = J*^ ^есгь аналитическая во всякой односвязной области, не содер- 1

жащей нулевой точки, в частности, например, всюду справа or мнимой оси. Следовательно, In z можно разложить в степенной ряд в окрестности, например z =1, причём радиус сходимости этого ряда будет равен единице, За- мегив, что имеем:

получаем отсюда при z = 1: и, следовательно, находим: