Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции.

Условимся говорить, что функция f(z) есть голоморфная в точке а, если она в некоторой окрестности этой точки разлагается.в степенной ряд относительное — а. На основании предыдущего это свойство голоморфности функции в точке а эквивалентно свойству её аналитичности в той же точке. Действительно, если функция f{z) есть голоморфная в точке п, то согласно определению существует круг k с центром в точке а некоторого радиуса р, внутри которого f(z) разлагается в степенной ряд относительно zа. На основании п. 1 функция f(z) как сумма степенного ряда должна быть аналитической внутри этого круга 6, а следовательно, и в точке а.

Обратно, если f(z) есть функция, аналитическая в точке я, то существует круг k с центром в этой точке некоторого радиуса р, внутри которого f(z) будет аналитической функцией. Вследствие п. 2 f(z)y как функция аналитическая внутри этого круга ky может быть представлена в виде суммы ряда, степенного относительно zа, сходящегося внутри k. Следовательно, f(z) будет функцией голоморфной в точке а.

Функцию, голоморфную в каждой точке области О, мы будем кратко называть голоморфной в этой области.

Сказать, что функция f(z) есть голоморфная в некоторой области О, очевидно, равносильно утверждению, что эта функция есть аналитическая в той же области G.

Таким образом, отправляясь от определения функции, аналитической в области, как однозначной функции, имеющей в каждой точке этой области конечную производную, мы показали, что такая функция будет голоморфной в той же области, т. е. в некоторой окрестности каждой точки этой области функция разлагается в степенной ряд.

В случае функций действительного переменного разложение в степенной ряд не всегда возможно, даже если функция имеет производные всех порядков: для функций же комплексного переменного возможность такого разложения следует из существования лишь первой производной всюду в рассматриваемой области.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>