Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Свойство единственности аналитических функций.

Из теоремы Коши и полученного с её помощью разложения аналитической функции в степенной ряд мы можем извлечь весьма важные следствия, которые нам позволят уяснить сущность аналитических функций. Определение произвольной функции комплексного переменного является настолько общим, что из поведения такой функции в некоторой части области G плоскости комплексного переменного ничего нельзя заключить об её поведении в других частях области G. Так, например, пусть f(z) определена во всей плоскости комплексного переменного z, причём f(z) = i при |г|^1. Отсюда мы ничего не можем сказать относительно значений функции f{z) при z^> так как для этих значений z мы можем определить произвольно функцию /(z). Несколько иначе обстоит дело, если функция f(z) должна быть непрерывной; тогда в последнем примере значения функции f(z) в точках, бесконечно близких к окружности | z | = 1, должны со своей стороны бесконечно мало отличаться от /. В этом случае значения функции соединены между собою посредством некоторого, хотя ещё весьма общего, закона. Это внутреннее свойство соединяет между собою функциональные значения так, что, зная значения функции в одной части г-плоскости, возможно делать солее или менее точн ое заключение о поведении функции в других частях плоскости; очевидно, это свойство будет тем более сильным, чем более специальный класс функций мы будем рассматривать. Например, ограничиваясь рассмотрением целых рациональных функций 4-й степени:

к, х, у действительны), мы знаем, что такая функция вполне определяется посредством немногих заданий. Так, если мы знаем значения функции у для пяти значений независимого переменного х, то наша функция (25) вполне, т. е. однозначно, определена, причём пять значений независимого переменного х мы можем брать как угодно близко друг от друга. Таким образом, зная поведение функции у на сколь угодно малом интервале, мы можем судить о поведении её при всех значениях независимого переменного х. Класс целых рациональных функций 4-й степени обладает, следовательно, очень сильным внутренним свойством, посредством которого соединяются между собой различные значения такой функции.

Особенно замечательным является тот факт, что класс функций, выделенный нами из совокупности общих функций комплексного переменного посредством лишь одного требования их дифференцируемости в области, названных нами функциями, аналитическими в этой области, обладает таким сильным внутренним свойством, которое позволяет, зная поведение такой функции в сколь угодно малой частичной области, сделать определённое заключение о её поведении во всей основной области. Или, более точно, функция, аналитическая в области, будет вполне, т. е. однозначно, определена в этой области, если известны значения этой функции на сколь угодно малой дуге линии. В этом отношении уже формула Коши нам показывала, что мы можем определить все значения аналитической функции внутри замкнутого контура С, если известны её значения на этом контуре. На основании теоремы о разложении аналитической функции в степенной ряд (п. 2) мы будем в состоянии обнаружить указанное свойство единственности аналитических функций в общем виде. Это свойство, вследствие его громадного значения для построения всего здания теории аналитических функций, наряду с интегралом Коши должно быть рассматриваемо как основное в этой теории.

Это свойство мы формулируем в общем виде таким образом: если две функции f(z) и y(z), голоморфные в некоторой области G, имеют равные значении на бесконечном множестве точек Е в этой области, причём множество Е допускает по крайней мере одну предельную точку, лежащую внутри G, то эти функции равны между собою всюду в области G.

Мы докажем сначала это предложение для случая, когда область О есть круг, центр которого а является предельной точкой множества Е. Итак, пусть

суть разложения данных функций, которые имеют место во всякой точке z круга G. Чтобы доказать совпадение функций /(д) и y(z) всюду внутри круга G, достаточно показать, что коэффициенты сп

и с'я равны между собой при любом п, п ^ 0. Согласно условию, «ели точка z принадлежит множеству Е, то имеем:

Так как точка а есть предельная точка множества Е, то можно выбрать последовательность точек zk этого множества, сходящуюся к точке а.

Из условия:

путём перехода к пределу, вследствие непрерывности функций f(z) и y(z) в точке а, получаем: /(а) = <р(а), или с0= c'Q.

Заметив этб, равенство (26) перепишем в виде:

где z обозначает любую точку множества Е. Сокращая это равенство <26") на z — а, получим:

Последнее равенство имеет место для всех точек z множества Е, в частности при z=zk. Переходя к пределу в предположении, что limzk = a, аналогично предыдущему получим: ci=c. Поступая так лалее, найдём: с2 = с'2,.... и вообще сп=^=с'п при любом л.

Пусть теперь две функции f(z) и ср (z)t голоморфные в области G, имеют равные значения на бесконечном множестве точек Е этой

Фиг. 85.

области, причём множество Е допускает предельную точку а, лежащую внутри G. Мы докажем тождественность наших функций всюду в области G, если покажем, что они имеют равные значения в произвольной точке b области G. С этой целью соединим точки а и b произвольной непрерывной линией L, лежащей в области G (фиг. 85). Обозначим через d (^^>0) расстояние линии L до границы области G, т. е. минимум всевозможных расстояний между двумя точками, из которых одна принадлежит линии Z., а другая — границе области G.

Очевидно, круг с центром в любой точке линии L радиуса у целиком лежит в области G. Вследствие разобранного выше частного случая данные функции совпадают между собою всюду внутри круга

d

с центром в точке а радиуса у , так как точка а есть предельная точка множества Е (фиг. 85). Заставляя центр круга радиуса — непрерывно двигаться по линии L от точки а до то,!ки b, мы видим, что наши функции должны совпадать всё время между со^ою внутри круга, каково бы ни было положение этого движущегося круга. Следовательно, в частности имеем: f(b) = y(b), что и нужно.

Итак, мы доказали, что функция f(z)t голоморфная в области G, определена единственным образом, если известны её значения на бесконечной последовательности точек zky имеющей хотя бы одну предельную точку внутри G. Однако, остаётся до сих пор нерешённым вопрос, как нужно a priori выбирать значения f(zk) функции в точках заданной бесконечной последовательности для того, чтобы они были значениями некоторой функции f(z), голоморфной в области G.

Как следствие доказанной теоремы отметим, что две функции f{z) и y[z)} голоморфные в области О, тождественно равны между собою в этой области, если:

  • 1) f(z) = y{z) всюду в произвольно малой окрестности некоторой точки области G,
  • 2) f(z) = (г) на произвольно малой линии, целиком лежащей в G.

Это есть одно из замечательных свойств аналитических функций,

не присущее произвольным непрерывным функциям комплексного переменного: в случае произвольной функции комплексного переменного, непрерывной в области, G, значения её в окрестности одной точки области G никоим образом не определяют её значений во всех точках этой области.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>