Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теорема Лиувилля.

Эта теорема состоит в следующем: если функция f(z), голоморфная во всей плоскости, является ограниченной по модулю, то она есть тождественное постоянное.

Действительно, в рассматрива- мом случае разложение

имеет место во всякой точке z плоскости. Пользуясь неравенствами Коши (п. 8), имеем:

где М есть постоянное число, a R можно считать сколь угодно- большим. Следовательно, имеем сп = 0, если п ^ 1, и, значит, вследствие (32) будет: f(z) = c0.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть дан ряд

все члены которого суть функции, голоморфные в области G и непрерывные в замкнутой области О. При этих условиях мы докажем,

что если ряд (33) сходится равномерно на границе области G, то он сходится также равномерно во всей замкнутой области G.

Действительно, обозначая через С произвольную точку границы области G, по условию имеем:

при любом сколь угодно малом ?^>0, если Ы=Ы(в) и 1. Так как функция [/^+i(2) + /^+2(2)+ • • .--fN+p(z)jCTb голоморфная в области G и непрерывная в замкнутой области G, то неравенство (34) должно иметь место также во всех точках z области G (п. 5). Таким образом, неравенство (34) остаётся в силе, если под С понимать любую точку замкнутой области G, откуда следует равномерная сходимость ряда (33) во всей области О (гл. II, § 2, п. 3).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>