Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Единственность разложения Лорана.

Подобно разложению Тейлора, найденное разложение (4") Лорана есть единственно возможное для данной функции /(г) (в данном круговом кольце).

Действительно, допустим, что во всех точках z, внутренних к некоторому кольцу, одновременно имеют место два разложения:

Умножая оба разложения (10) на (z— а)-*'1 и интегрируя вдоль произвольной окружности с центром в точке я, лежащей внутри кольца, на которой оба ряда разномерно сходятся, получим:

2n;ck = 2тс/с'а, или ck=c'k (k =0,± 1,±2,...).

Из изложенного в и. 1 и 2 вытекает, что точная область сходимости ряда Лорана (4'") есть круговое кольцо с центром в точке я, внутри которого функция f(z) голоморфна и на каждой окружности К и к которого имеется по крайней мере по одной особой точке этой функции. В частности, если внутри К функция J{z) не имеет особых точек, то её разложение Лорана обращается в ряд Тейлора.

Пример. Нетрудно получить разложение:

Здесь мы имеем два различных разложения Лорана для одной и тон же функции; однако, это обстоятельство нисколько не противоречит теореме об единственности разложения, гак как указанные разложения имеют место для разных круговых колец.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>