Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Классификация особых точек однозначной функции

Три типа изолированных особых точек.

Особенного внимания заслуживает случай, когда внутри окружности К её центр я есть единственная особая точка однозначной функции f(z). Разложение Лорана

в этом случае сходится во всякой точке z> лежащей внутри окружности К, кроме точки 2 = я, и изображает функцию J (г), голоморфную всюду внутри окружности /С, кроме её центра. Точка а называется в этом случае изолированной особой точкой функции ] (г), изображаемой всюду в окрестности такой точки (кроме z = a) разложением вида (11). В основу классификации изолированных особых точек однозначной функции f {г) мы положим способ её разложения в окрестности таких точек. Возможны три случая:

  • 1. Разложение Лорана (11) содержит бесконечное множество отрицательных степеней z — я. В этом случае точка я называется существенно особой точкой функции f(z).
  • 2. Разложение (11) содержит лишь коне:мое число отрицательных степеней z — я. В этом случае точку а назовём полюсом функ- ции f(z).
  • 3. Разложение (11) совсем не содержит отрицательных степеней zа. В этом случае точка а называется устранимой особой тонкой функции f(z).

Распределив изолированные особые точки однозначной функции на три типа, выясним теперь характер поведения функции в окрестности особой точки каждого из указанных типов (иод окрестностью изолированной особой точки а мы понимаем совокупность всех точек z, удовлетворяющих условию: 0 |г— a<^R, где R выбрано столь малым, чтобы функция f{z) была голоморфной во всех точках z).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>