Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Существенно особая точка.

Остаётся исследовать повеление функции f (г) в окрестности существенно особой точки. Мы видели, что в случае устранимой особой точки а функция f(z) стремится к определённому конечному пределу с0, когда точка z стремится к точке а (п. 2); в случае полюса функция стремится также к определённому пределу, равному бесконечности (п. 3). Если же а есть существенно особая точка, то здесь имеет место следующая теорема, принадлежащая Вейерштрассу: каково бы ни было постоянное число Л, конечное или бесконечное, существует последовательность точек zlt z2,..., zn..сходящаяся к существенно особой точке а, такая, что имеем: lim f(zn) = A.

Zn-Hl

Короче это можно формулирован» так: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция f(z) принимает значения, сколь угодно близкие к любому наперёд заданному числу, конечному или бесконечному.

Замечали е. Чтобы дать геометрическую характеристику теоремы Вейер- штрасса, будем изображать точками плоскости w значения функции w = f(z), принимаемые ею в сколь угодно малой окрестности 0<|z —я|<о существенно особой точки а. Теорема Всйершграсса утверждает, что любая точка А плоскости w является предельной точкой для множества значений, принимаемых функцией w =/ (г) в сколь угодно малой окрестности точки а.

Переходя к доказательству теоремы Вейерштрасса, предположим сначала, что Л = оо. Покажем, что существует последовательность точек zn, lim zn=a> таких, что имеем: Нт/(гя) = оо. Обозначая для

гп -* а

сокращения через P(zа) правильную часть разложения Лорана (11), содержащую положительные степени zа и свободный член, а через

Q ^ его главную часть, содержащую отрицательные степени. z—.д, можем переписать (11) в виде:

Что касается правильной части Р (z — д), то при любом стремлении точки z к точке а имеем:

Полагая в главной части Q

будем иметь:

Так как рях Q сходится всюду, кроме точки z = д (§ 1, п. 2)^

то ряд (23), очевидно, будет сходящимся во всей плоскости комплексного переменного z. Функция Q(z') по теореме Лиувилля (гл. V, § 2, п. 9) не может быть ограниченной во всей плоскости комплексного переменного z т. е. какое бы натуральное число N мы ни взяли, найдётся точка z'N, такая, что будем иметь |Q(^)|^>M

Заставляя N пробегать значения 1,2, 3,..., я,. .., мы получим последовательность точек z'v z'v z'y..., z'n,...t стремящуюся к бесконечности и такую, что будем иметь:

Возвращаясь к прежнему переменному z, мы видим на основании (22), что последовательность точек z'n преобразуется в последовательность точек zv znf..., сходящуюся к точке а, такую,

что имеем:

Заставляя точку z стремиться к точке а, проходя последовательность точек zn, усматриваем из равенства (11") на основании равенств (21) и (24):

Пусть теперь А есть произвольное конечное комплексное число. Может случиться, что в произвольно малой окрестности точки а существует точка z такая, что имеем f(z) = A. В этом случае теорема ВеЙерштрасса справедлива. Таким образом, мы можем предположить, что в достаточно малой окрестности точки а функция f (z) не равна Л.

Если так, то функция

j 2) — л

окрестности точки а, кроме точки z = ay которую она имеет в качестве существенно особой точки [потому что z=.a существенно особая точка для f(z). По доказанному существует последовательность точек 2П, сходящаяся к точке а, такая, что имеем: Нш ср (*п) = оо,

гл-*а

откуда следует: lim/(a:n) = Л, что и нужно.

гп-* а

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>