Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Поведение функции в окрестности изолированной особой точки.

Мы исследовали повеление однозначной функции в окрестности изолированной особой точки каждого из трёх вышеуказанных типов и видели, что в достаточно малой окрестности устранимой особой точки функция ограниченна, в достаточно малой окрестности полюса она сколь угодно велика (по модулю) и, наконец, в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция становится неопределённой. Резюмируя это исследование, мы видим, что, и обратно, изолированная особая точка будет устранимой, полюсом или существенно особой точкой, смотря по тому, будет ли в окрестности такой точки данная функция ограниченной, бесконечно большой или неопределённой.

^ Примеры

1. Функция ez имеет при z = 0 существенно особую точку. Разложение Лорана в окрестности этой точки будет:

_ . ж sin z . cos z

2. Функция tgz=-Hctg z = _- имеют полюсы соответственно при

J * cos z sin z v

нулях cos z и sinz. Легко показать, что это будут полюсы первого порядка. Напишем, например, разложение Лорана для функции ctgz в окрестности полиса z = 0. Разделив формально степенные ряды для cosz и sinz, получим, ограничиваясь первыми членами, выражение:

Вследствие единственности такого разложения полученный ряд есть ряд Лорана для'функции ctg z, сходящийся в окрестности нулевой точки: 0 < | z | < я. Из этого разложения усматриваем, что z = 0 есть полюс первого порядка.

Мы оставляем вне рассмотрения случаи неизолированных особых точек однозначной функции, а также случаи особых точек, в окрестности которых данная функция не является однозначной (например z = 0 для функций In 2 и П{/z). Простейшим типом неизолированной особой точки однозначной функции будет тот случай, когда точка а является предельной для полюсов, например 2 = 0 для функции

-Г”* Легко показать, что теорема Вейерштрасса остаётся в силе

sin ы

для такой особой точки а. В самом деле, предполагая, что функция f(z) в достаточно малой окрестности точки а не равна А, легко видеть, что функция у (2) = - -—j- в точке 2 = а имеет изолирован-

ную существенно особую точку, если мы положим y(z) = 0 во всех полюсах функции f(z). Таким образом, вопрос приводится к доказанной теореме Вейерштрасса.

Примечание. Теорема Вейерштрасса послужила началом весьма глубоких исследований о поведении однозначной функции в окрестности существенно особой точки. Предложение Вейерштрасса показывает, что в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция принимает значения, сколь угодно близкие к любому наперёд заданному числу. Пикар (Picard) доказал более общее и глубокое предложение: в сколь угодно малой окрестности существенно особой тонки функция f(z) принимает (и притом бесконечное число раз) любое конечное значение, за иск гючением, быть может, одного. Доказательство этого предложения будет изложено в гл. VIII.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>