Поведение функции в окрестности бесконечно удалённой точки.

Так как определение характера поведения функции /(г) в окрестности бесконечно удалённой точки приводится с помощью новых обозначений к исследованию поведения функции ср (z') в окрестности нулевой тощи (и. 1), то все заклкления § 2 немедленно переносятся на случай бесконечно удалённой точки.

Так, если функция f (z) имеет в бесконечности полюс, то каково бы ни было большое положительное число С,‘существует окрестность бесконечно удалённой то ikh, для всех точек которой имеем: f(z) [ > С, или короче: lim/(z) = оо (ср. § 2, п. 3).

*-?00

Далее, теорема Вейсрштрасса для случая бесконечно удалённой существенно особой точки выразится так: каково бы ни было постоянное число А, конечное или бесконечное, существует последовательность точек z_lt z₂,..., z_n,..., стремящаяся к существенно особой то ке <х>, такая, что имеем: lim f(z_n) = А, или короче: в произвольна-*»

ной окрестноегн бесконечно удалённой существенно особой точки функция /(г) принимает значения, сколь угодно близкие к любому наперёд заданному числу (ср. § 2, п. 4).

Наконец, в достаточно малой окрестности устранимой бесконечно удалённой особой точки функции f(z) эта функция является ограниченной, т. е. существуют два постоянных положительных числа R и М таких, что имеем: f{z)<^M при bccxz, lz|^>/? (ср. § 2, п. 2).

Так как, с другой стороны, три типа указанных особенностей являются единственно возможными для изолированной особой точки, то и, обратно, функция /(z), для которой бесконечность есть изолированная особая точка, имеет здесь:

• а) полюс, если она в достаточно малой окрестности этой то ikh становится сколь угодно большой (по модулю);
• б) существенно особую точку, если /(z) в сколь угодно малой окрестности бесконечно удалённой точки становится неопределённой;
• в) устранимую особую точку, если в достаточно малой окрестности этой точки функция /(z) ограни ена.