Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Простейшие классы аналитических функций

Целые функции.

На основании характера особых точек можно определить различные классы функций. Так, например, известно, что всякая целая рациональная функция имеет единственную особую точку в бесконе шопсти, которая служит для неё полюсом.

Обратно, если однозначная функция f(z) имеет в бесконечности единственную особую точку — полюс, то такая функция есть целая рациональная. В самом деле, разложение Лорана функции f(z) для окрестности бесконечно удалённой точки содержит лишь конечное число положительных степеней z (§ 3, п. 2). Обозначим через zP~l +• • .+ i4i* часть этого разложения Лорана, содержащую положительные степени z (главная часть функции f(z) в окрестности бесконечно удалённой точки), и вычтем её из данной функции. Полученная разность

будет голоморфной функцией во всякой точке z в бесконечности она имеет устранимую особую точку, так как её разложение Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки, в силу единственности такового, не будет содержать положительных степеней z. Мы можем считать функцию F(z) голоморфной во всей «расширенной» плоскости комплексного переменного z, если положим:

Такая функция, будучи ограниченной равномерно во всей плоскости по теореме Лиувилля (гл. V, § 2, п. 9), есть тождественное постоянное с. Следовательно, имеем:

откуда следует:

т. е. f (z) есть рациональная функция.

Далее, функцию, изображаемую бесконечным степенным рядом с радиусом сходимости /? = оо, мы называем целой трансцендентной функцией. Очевидно, такая функция имеет единственную особую точку в бесконечности, которая является для неё существенно особой тожой (§ 3, п. 2). Легко видеть, что и обратно: всякая однозначная функция /(z), имеющая единственную особую точку в бесконечности в качестве своей существенной особенности, есть целая трансцендентная функция. В самом деле, обозначая через A{z-- + A2z2 . •+ • • главную часть функции f(z) в окрестности

бесконечно удалённой точки, образуем разность:

Как и ранее, заключаем, что эта функция F(z) должна быть ограниченной равномерно во всей плоскости, а потому по теореме Лиувилля есть постоянное число с. Следовательно, имеем: F(z) = cr откуда в силу равенства (31) следует:

т. е. f(z) есть целая трансцендентная функция.

Соединяя изложенное, мы можем назвать целой функцией всякую функцию, голоморфную во всей плоскости, за исключением бесконечно удалённой точки, причём эта функция будет трансцендентной, рациональной или постоянным числом, смотря по тому, будет ли бесконечно удалённая точка существенно особой точкой, полюсом или устранимой особенностью.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>