Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Чисто циркулярный поток.

Простейший пример течения с циркуляцией вокруг цилиндра представится в случае, когда характеристическая функция w имеет вид:

Полагая z = re®t определим функции и и v: откуда

Таким образом, траекториями течения будут и — const, или г = const., т. е. концентрические окружности.

Компоненты р и q скорости определяются по формуле:

/

т. е. величина скорости, во всех точках окружности радиуса г, равная

обратно пропорциональна г; направление же течения — против часовой стрелки.

ЦиркУля,1ия потока вдоль контура С, окружающего цилиндр, будет:

Итак, характеристическая функция w соответствует потоку жидкости вокруг цилиндра, причем частицы жидкости текут по окружностям против

часовой стрелки, 'и скорость течения обратно

—*_—пропорциональна расстоянию частицы от центра цилиндра.

Общий случай.

Складывая оба движения, изученные в п. 3 и 4, мы получим обтекание цилиндра потоком жидкости, имеющим в бесконечно удаленной точке скорость я, с циркуляцией /.

Характеристическая функция в этом общем случае будет:

Фиг. 88.

Траектории течения изображены на фиг. 88. В этом случае критические точки погока будут смешены по сравнению со случаем п. 3, когда не было циркуляции, cmf точки определяются из условия:

или

т. е.

Эго квадратное уравнение определяет две точки z

Считая циркуляцию I не очень большой, а именно, /< 4zaR, мы получим для z два комплексных значения, отличающихся лишь знаком действительной части и по модулю равных R. Таким образом, в этом случае (фиг. 88) критические точки" лежат на самом цилиндре симметрично относительно оси у, и радиус-вектор к ним образует с положительным направлением оси х угол О,

определяемый по формуле sin 0 z=^-— . С увеличением / обе критические

точки сближаются и при I^=4r.aR они совпадают и оказываются в точке

= пересечения оси .у с контуром цилиндра (фиг. 89). При дальнейшем

Фиг. 89.

Фиг. 90.

увеличении /, если / > 4zaR, мы получаем для z два чисто мнимых^ значения, из которых одно по модулю меньше /?, другое же больше R. Следовательно, в этом случае мы имеем только одну критическую точку, лежащую на оси у (фиг. 90).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>