Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI

1

.1. Разложить в ряд Лорана функцию е1~г при |лг|>1. п .11 1,1 19 ,

г 22* '242*

2. Разложить в ряд Лорана функцию -—— при | z | > 3.

п 1 . 5 , 19 . 65 .

°™-F+l3+F+!S+---

  • 2 2 -L 1
  • 3. Определить особенности при г= оо для функций: ——— , cos 2 — sin z. Отв. Существенно особые.
  • 4. Обнаружить справедливость теоремы Вейерштрасса для функции elfz, исследуя ее значения на лучах, выходящих из нулевой точки в окрестности 2=. 0. Каково будет множество точек 2, в которых еХ г = с%сф 0?

Отв. Бесконечное множество, имеющее нуль предельной точкой.

5. Функции / {2) и f (2) имеют в точке г = а полюсы соответственно т-го порядка и л-го порядка. Что можно сказать о характере точки z = a для

функций: a) f(z) ?(2), 6) , в) /(2) + <р(2)?

Owe. а) Полюс порядка т--п. б) Полюс порядка т — п, если т>л; если т < л, то нуль порядка л — ш, при т = п — правильную точку, в) Полюс порядка, равного наибольшему из чисел т, п; при т = п полюс порядка т или правильную точку.

  • 6. Относительно степенного ряда f(z)=2* апгП известно, что изображаемая им функция /(2) имеет на окружности круга сходимости только одну особую точку zq — полюс первого порядка. Показать, что в этом случае
  • ——? z0 и, следовательно, -? г, где г—радиус сходимости.

ап+ _ an+iI „ _

7. Внутри замкнутого контура С лежит другой замкнутый контур С2- Функция /(г) есть аналитическая в области G между контурами С2 и С>.

В этом случае можно положить:

где /| (z)— аналитическая функция внутри С% a /2(2) есть аналитическая функция вне С2, включая бесконечно удаленную точку. Функции fx(z) и /2(2) этим разложением определяются однозначно с точностью до аддитивного постоянного. ._

8. Разложить в ряд Лорана У(z — 1) z — 2) для |2/>2.

Отв. + у — ^ +

где

9. Разложить в ряд Лорана г-——* при 0<|а|<|2|<16| и для

Ы>|Н

отв. _!_ r..4-?!+f->+l + i+?,4....] и

а-Ь 1 23 1 *3 ‘ z 1 b 1 Ь* 1 J

10. Разложить в ряд Лорана In при |г|>1.

Отв. Невозможно, так как функция не однозначна при |г|>1.

  • 11. Какие особенности имеют функции:
  • 1
  • а) ег при г = 0; б) sin __ ^ при 2=1; в) --— при z = 2ru?

Отв. а) Существенно особая точка; б) то же; в) полюс первого порядка.

  • 12. Какие особенности имеют функции при 2= оо:
    • а) ; б) V{z- l)(z — 2); к е г’; г) д) sin

Отв. а) Существенно особая точка; б) полюс первого порядка; в) правильная точка; г) предельная точка полюсов; д) нуль первого порядка.

13. Какое существенное различие имеется между поведением действительной функции

и функции комплексного переменного w = e~l z в окрестности нулевой точки? Отв. Функция у и все ей производные при дг = 0 равны нулю. Кривая

у — f(x) в нулевой точке имеет с осью х соприкосновение лучшее, чем любая парабола у = хп. Функция w имеет в нулевой точке существенную особенность, т. е. стремится к любому наперед заданному числу, когда г 0.

14. Функция /(*) — аналитическая в окрестности г | >/? бесконечно уда-

г

лбиной точки. При каких условиях F(z)= f/(C)^C будет однозначной alias'

Zo

литической функцией в области | z | > /?, если Zq и путь интеграции лежат в этой области? Что можно сказать о поведении F(z) в бесконечно удаленной точке из поведения f{z) в этой точке?

00

Отв. Когда а_1 = 0 в разложении /(*) = 2anzn. Если это условие вы-

— 00

полнено и f(z) при «г=оо имеет полюс порядка (5, то F(z) будет иметь полюс порядка (J-j-1; в частности, F{z) будет иметь полюс первого порядка, если /(г) при г— оо — правильная функция и ф 0.

Если f(z) при г = оо имеет нуль порядка а (а ^2), то F(z) имеет нуль порядка а — 1.

Если / (г) при z— оо имеет существенно особую точку, то F(z) — то же.

Если а} Ф 0, то F(z)— ах 1пг будет при |г|>/? однозначной аналитической функцией.

15. Плоский поток определяется характеристической функцией w=f{z). Найти траектории потока и указать направление течения в случаях:

a) w = z; б) w — ; в) w = z -f- -i-.

Отв. а) у = const., слева направо; б) л:2= ^, течение налево; в) у{х2--у2)—у =с(х2-}-у2), течение направо.

16. Определить скорости потока в случаях предыдущей задачи 15.

л .У22ху

Отв. а) р=, 7 = 0; б) P = {'t+yt^; 9 = -{xt+y^;

ч _ , , у2х2 __ 2ху

в) р — -t- .3 + ^2)2 , q— .2 + у2)2.

17. Характеристическая функция потока w = 1nz.

Определить траектории потока, их направление и скорость движения жидкости. Чем является для потока точка = О?

Отв. Считая z = ге, уравнение траекторий будет: 0 = const.; движение направлено от точки ? = 0, которая является источником. Скорость по величине равна и направлена от точки z = 0. Точка z = 0 есть источник потока.

18. Чему равно количество жидкости, вытекающей в единицу времени через замкнутый контур, окружающий точку z = 0 предыдущей задачи?

Отв. 2ир.

  • 1
  • 19. Характеристическая функция потока w = Inz.

Найти траектории потока, их направление и скорость движения жидкости* Чем является точка z = О?

Отв. Если z = re*9, то уравнение траекторий будет: г = const. Движение направлено против часовой стрелки. Величина скорости равна —. Точка z — О является вихрем.

20. Чему равна циркуляция потока вдоль замкнутого контура, окружающего точку “z = 0 предыдущей задачи?

Отв. 1.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>