Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ

§ 1. Общая теория вычетов

Вычет функции относительно изолированной особой точки.

Если функция f(z) есть голоморфная в некоторой точке а, то по теореме Коши (гл. IV, § 2, п. 3) имеем: где путём интегрирования С служит произвольный, гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точку а и малый настолько, что функция f(z) остаётся голоморфной всюду внутри этого контура, включая точки самого контура. Если же а будет изолированная особая точка функции f(z), и замкнутый контур С целиком лежит в окрестности этой точки а, то значение нашего интеграла J f(z) dz будет,

вообще говоря, отличным от нуля. Это значение, как следует из теоремы Коши (гл. IV, § 2, п. 5), не зависит от формы контура С и легко может быть вычислено. В самом деле, в окрестности точки а alr) функция f(z) может быть разложена в ряд Лорана (гл. VI, § 2, п. 1):

который будет равномерно сходящимся на линии С, так как контур С лежит в окрестности точки а. Интегрируя почленно ряд (2) вдоль линии С, получим:

так как имеют место равенства:

Значение интеграла j f(z)dz условимся называть вычетом (residu)

функции f(z) относительно особой точки а. Согласно равенству (3) вычет функции f(z) относительно особой точки а равен г_,, т. е. коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана (2). Отсюда непосредственно вытекает, что вычет функции может быть отличным от нуля только в том случае, если а есть полюс или существенно особая точка (гл. VI, § 2, п. 1); для устранимой особой точки вычет непременно равен нулю (гл. VI, § 2, п. 1).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>