Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) есть функция, голоморфная во всякой точке области О, кроме конечного числа особых точек av а2>..., ак. Обозначим через Г произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точки av (%,..., ak

и целиком лежащий в области G. При этих условиях щ-. | f[z) dz pa-

“ с

Фиг. 91.

вен сумме вычетов функции f(z) относительно Л|, Og,. .. , ak. Это утверждение представляет собою основную теорему в теории вычетов.

Для её доказательства опишем из точек аи а2, • • • » аь как центров окружности Yi» Y2> • • •» Yk настолько малые, чтобы они попарно не пересекались и целиком лежали внутри Г (фиг. 91).

Так как функция f(z) будет голоморфной в каждой точке замкнутой области, ограниченной сложным контуром

то по теореме Коши (гл. IV, § 2, п. 5):

где интегрирование совершается по контурам Г, Yi» Тг> • • •» Y* в П0‘ ложительном направлении. Последнее равенство доказывает основную теорему о вычетах, так как в правой части этого равенства стоят вычеты функции /(г), соответствующие точкам я, Og,... , ak.

Очевидно, доказанное предложение представляет собою обобщение основной теоремы Коши (гл. IV, § 2 п. 2).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>