Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычисление вычета функции относительно полюса.

В приложениях основной теоремы о вычетах мы должны сперва определить вычеты всех особых точек аи ..., ak, лежащих внутри контура Г, после чего легко вычисляется на основании теоремы о вычетах зна.-

чение интеграла ^ / (z) dz. Поэтому весьма важно дать более простой г

способ вычисления вычетов, не требующий в каждом отдельном случае разложения Лорана. Такой способ возможно дать, если точка а является полюсом функции. Пусть сначала точка а есть простой полюс функции f(z). В этом случае главная часть разложения Лорана содержит лишь одну первую отрицательную степень (zа):

Умножая обе части разложения (5) на — а), получаем:

Так как правая часть последнего равенства есть обыкновенный сте« пенной ряд, то его сумма будет непрерывной функцией в точке я. Следовательно, переходя в равенстве (5') к пределу при z, стремящемся к а, получим:

Формула (6) позволяет быстро определить вычет функции относительно простого полюса.

Точка а есть простой полюс функции /(z)==~~, если

ф (z) суть голоморфные функции в точке я, причём <р (я) ф 0, ф (я) =0, ф' (я) ф 0. По формуле (6) вычет функции / (z) относительно точки а определяется в этом случае так:

так как согласно условию имеем: ф(я) = 0. Заметив, что окончательно получаем:

Так, например, для определения вычета функции относительно её простого полюса я= {2п -f- 1) ~ применим формулу (7):

Полученное значение с_j равно +1 или —1, смотря по тому, будет ли п числом нечётным или чётным.

Таким образом, имеем:

Формулу (6) можно обобщить на случай произвольного полюса п го порядка. В этом случае разложение Лорана будет:

Умножив обе части этого разложения (8) на (z — я)л, получим:

Продифференцировав равенство (8') п—1 раз, мы получим в правой части обыкновенный степенной ряд, свободный член которого будет: с_г(п—1)! Следовательно, имеем:

Формула (9) позволяет вычислять вычет функции относительно полюса а порядка/*; при п = она обращается в формулу (6), если считать ус овно: 0!с= 1.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>