Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычет функции относительно бесконечно удалённой точки.

До сих пор, рассматривая вычет функции относительно особой точки а, мы предполагали, что точка а лежит на конечном расстоянии. Понятие вычета можно распространить на случай бесконечно удалённой точки.

Предположим, что бесконечно удалённая точка является изолированной особенностью функции / (z), и обозначим через С произвольный замкнутый контур, лежащий целиком в окрестности этой точки, например за С можно взять окружность достаточно большого радиуса. Попрежнему условимся называть вычетом функции / (z) относительно

бесконечно удалённой точки значение интеграла ^ f(z)dz, с той

с-

лишь разницей, что интегрирование совершается теперь по контуру С в отрицательном направлении, так как контур С нужно проходить по часовой стрелке, дабы бесконечно удалённая точка оставалась всё, время с левой стороны. В окрестности бесконечно удалённой точки разложение Лорана для функции / (г) будет (гл. VI, § 3, п. 2):

Так как этот ряд (10) сходится равномерно на контуре С, то мы можем его интегрировать почленно вдоль С~; замечая при этом, что все члены, кроме второго, после интегрирования обратятся в нули, находим.

откуда следует:

т. е. вычет функции относительно бесконечно удалённой точки равен коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана, взятому с противоположным знаком.

В случае устранимой особой точки, лежащей на конечном расстоянии, вычет всегда равен нулю. Этого может не быть в случае

бесконечно удалённой точки. Так, например, функция — в бесконечности имеет устранимую особенность, а соответствующий вычет равен— 1. Пользуясь понятием вычета функции относительно бесконечно удалённой точки, легко убедиться в справедливости теоремы: Если f{z) есть функции, голоморфная во всякой точке расширенной плоскости комплексного переменного z, кроме конечного числа особых точек, то сумма вычетов относительно всех её особенно•• сшей (включая и бесконечно удалённую точку) всегда равна нулю.

В самом деле, опишем из нулевой точки, как центра, окружность С столь большого радиуса, чтобы все особые точки функции (кроме бесконечно удалённой точки) лежали внутри этой окружности. Но

1 Г

основной теореме о вычетах значение интеграла f(z)dz равно

с

сумме вычетов относительно всех‘особых точек функции /(z), лежащих внутри С. С другой стороны, вычет той же функции относительно бесконечно удалённой точки изобразится через gk ^ / (z) dz. Сле-

’ с-

довательно, сумма всех вычетов будет равна:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>