Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычисление интеграла

Пусть f(z) — функция, голоморфная внутри замкнутого кусочногладкого контура Г и на самом этом контуре, исключая, быть может, конечное число полюсов, расположенных внутри Г. Мы предположим ещё, что / {z) не обращается в нуль на Г. Тогда, обозначая через я,, я2,,.ak нули f (z) внутри контура Г, через ai9 а2,..., порядки этих нулей, через ЬХ9 Ь2 ,..., Ьт и ^ р2,... соответственно полюсы f (z) внутри Г и порядки этих полюсов, будем иметь Для любой функции (z), голоморфной внутри Г и на Г, формулу:

Результат, стоящий в правой части, можно прочитать, как разность между суммой значений (z) и суммой значений y{z) в полюсах / (z) при этом нужно только помнить, что каждое значение берётся слагаемым столько раз, какова кратность соответствующей точки (нуля или полюса). Для доказательства формулы (12) при— 1 Г V (z)

меним к интегралу основную теорему о вычетах. Осо- г

бые точки функции F (z) = и (z) J-r1 внутри Г могут лежать либо

7 г)

в нулях, либо в полюсах f(z). Рассмотрим сначала нуль я/. В его окрестности имеем разложения в ряды Тейлора:

причём Л,фО. Отсюда для F(z) получаем:

Это означает, что F(z) имеет в точке z = al полюс первого порядка (при <р(а,)фО). Вычет F(z) относительно а, находим по формуле (7):

Заметим, что при ^(а,) = 0 F(z) голоморфна в точке z=an но тогда и найденный нами вычет обращается в нуль; поэтому, применяя основную теорему о вычетах, мы можем не делать разницы между случаями <р (af) ф 0 и у(а1) = 0. Совершенно также находим вычет F(z) относительно полюса bj функции f(z). В окрестности точки bf имеем разложения в ряды:

причём Bj^=Q. Отсюда для F(z) получаем:

(после умножения членов дроби на (zbj)b+1), Это означает, что F(z) имеет в точке bj полюс первого порядка (при у (bj) ф 0). Вычет F(z) относительно bj находим снова по формуле (7):

Таким образом, сумма вычетов F(z) относительно всех её особых точек внутри Г равна

что и даёт нам формулу (12).

Отметим важнейшие частные случаи этой формулы. Положим прежде всего

к

Здесь у а~ N представляет число нулей функции f(z) внутри

/=г

т

контура Г, а 2 Ру = 7> — число полюсов той же функции, причём каж- /=1

дый нуль или полюс считается столько раз, какова его кратность. Называя интеграл

логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура Г

f'{2)

^название это связано с тем, что представляет логарифмическую

чфоизводную f(z) [In/(2)]), приходим к следующему предложению.

Логарифмический вычет функции f(z) относительно замкнутого контура Г равен разности между числом нулей и числом полюсов f(z) внутри Г, причём каждый нуль и каждый полюс считается столько раз, какова его кратность.

Применяя это предложение к функции f(z)а, где а — произвольное комплексное число, находим, что интеграл -т~- ^tiz^ ,

г

где f (z)функция у голоморфная внутри замкнутого контура Г и на нём, за исключением, быть может, конечного числа полюсов внутри Г, причём f(z) не обращается в а на контуре Г равен разности между числом корней уравнения f(z) = a, лежа, щах внутри Г, и числом погюсов f(z) внутри Г. В частности когда f(z) голоморфна во всех точках внутри Г, без исключения, интег!

рал j* даёт число корней уравнения f(z) = a, лежащих

г

внутри контура Г.

Другой важный частный случай формулы (12) получим, полагая (p(z)=z. Тогда будем иметь:

Правая часть этой формулы даёт, очевидно, разность между суммой нулей функции f(z), лежащих внутри Г, и суммой полюсов той же функции, причём каждый нуль и каждый полюс берётся слагаемым столько раз, какова его кратность. Наконец, полагая n, отметим ещё формулу:

дающую разность между суммами п степеней нулей и полюсов / (г), лежащих внутри Г.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>