Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Разложение ctg z на простейшие дроби.

Мы применим сейчас основную теорему о вычетах к задаче разложения функции ctg г в бесконечный ряд простейших дробей.

Прежде всего заметим, что функция ctgz = ^-^ есть меро-

морфная с полюсами в тех точках, где sin .г обращается в нуль. Вспомнив, что все нули функции sin 2 будут вида zk = kn (& = (), -4- 1. 4-2 ...) (гл. II, § 4, п! 7) и замечая, что в этих точках (sin z)f = = cos г не обращается в нуль, мы заключаем: функция ctg .г будет иметь простые полюсы в точках zk с вычетами гкУ вычисляемыми по обычной формуле

Таким образом, главная часть функции ctg г в полюсе z = kii будет

В частности, в полюсе z= О главная часть будет —, причём

Заметив это, покажем, что функция ctgz будет ограничена по модулю на всей плоскости, если мы выделим из плоскости кружки | z — /?тг | <1 р, с центрами в точках ?я одного и того же радиуса р. где р — произвольное заданное положительное число (фиг. 94).

Фиг. 94.

Так как функция ctg z имеет период я, то достаточно рассмотреть её значения в замкнутой полосе S, ограниченной прямыми х=0 и х = я (фиг. 94), причём из этой полосы удалены внутренности полукружков с центрами в точках z=0 и z = n радиуса р.

Во всякой ограниченной части полосы 5 наша функция ctg г непрерывна, а следовательно, ограничена по модулю. Таким образом, нам остаётся лишь показать, что модуль | ctgz | остаётся ограниченным, когда точка z=x--iy любым образом удаляется в бесконечность, оставаясь в полосе S, т. е. при О^лг^я и у—? -j- оо или у—*—оо. С этой целью, отправляемся от формулы

заменяя здесь модуль числителя суммой модулей, а модуль знаменателя абсолютной величиной от разности модулей, имеем:

откуда легко усматриваем, что при у—-±оо правая часть последнего неравенства стремится к пределу 1.

Таким образом, при всех достаточно больших по абсолютной величине значениях у мы вправе принять, например, |ctg^|<^2. Проведем теперь окружности Сл, с центром в начале координат и радиусами (fl-f-1^)71- Считая р достаточно малым, например, р = я/4, мы видим, что наши окружности Сп не будут проходить через выделенные на плоскости кружки, и, таким образом, но только что доказанному, на этих окружностях |ctgz| будет ограниченным,

Рассмотрим интеграл вида

где интегрирование совершается по окружности Сп в положительном направлении, a z — любая точка внутри Сл, отличная от полюсов функции ctg г. Чтобы применить к интегралу (28) основную теорему о вычетах, заметим, что подинтегральная функция внутри контура Сп

имеет полюсы в точках z и zk=kтт(& = 0, -Ь1. ±2,..., ±л) с вычетами, соответственно равными

Следовательно, применяя основную теорему о вычетах, будем иметь:

где штрих у знака суммы показывает, что надо исключить слагаемое* соответствующее k = 0. Заставляя в последней формуле z стремиться к 0, воспользовавшись соотношением (25), найдём:

Вычитая это равенство из предыдущего, будем иметь:

Покажем теперь, что интеграл, стоящий в левой части последнего равенства, стремится к нулю при неограниченном возрастании п.

В самом деле, принимая во внимание (27), и замечая, что

найдём:

откуда вытекает стремление к нулю интеграла левой части соотношения (29) при п—? оо. Переходя, наконец, к пределу при п—? ос из соотношения (29), получим:

или

Существенно отметить, что, согласно выводу формулы (30), в бесконечном ряде (30) мы должны соединять в один член два слагаемых, соответствующих индексам k и —k. Однако, мы можем рассматривать в формуле (30) бесконечный ряд обычным образом, так как легко показать, что он абсолютно сходится, и, следовательно, его сумма не 'зависит от порядка членов. Действительно, покажем, что наш ряд сходится абсолютно и равномерно во всякой ограниченной области, если отбросить конежое число первых слагаемых,

имеющих полюсы в этой области. Заметив, что общий член ряда будет ^ — , мы будем иметь:

так как во всякой ограниченной области z<^L.

Коэффициент при при неограниченном возрастании k стре-

00

L V 1

мится к конечному пределу —, а ряд 2^ —, как известно, схо-

k — —со

дится. Следовательно, ряд (30) сходится абсолютно и равномерно в любой ограниченной области плоскости, если пренебречь конечным числом первых его членов. Группируя попарно слагаемые, •относящиеся к значениям k, одинаковым по абсолютной величине, но различным по знаку, мы можем переписать формулу (30) в виде

«ли

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII

1. Вычислить с помощью теории вычетов интегралы:

»

яг&#

  • 2. Вычислить вычеты функций:
    • а) (T-njU-2)* при * = 1 и при г = 2;
    • б) Cz-zon iz-z.) при и при ^=^(^Ф^1);
    • -L 1
    • в) е1—* при z с= 1; г) ^ __ при z = 2?ri.

Отв. а) 4- 1 и —1*6) —-—^—— и -———— ; в) 1; г) — 1.

  • (*з — г)т (** — zv)
  • 3. Функции f{z) и g(z) голоморфны в точке z0, причём f(z0)фО, a g(z) имеет при z = z0 нуль второго порядка. Какой вычет имеет в точке г0?

Отв. , где а, = (г0) и ?v = (*0) (>=1,2, 3).

^2

or

4. Зная, что Ce-fidt^J-YT, вычислить интегралы Френеля: о 2

Отправляясь от функции е**2 и интегрируя её вдоль замкнутого пути С, который идёт от 0 по действительной оси до затем вдоль jz| = /? до точ-

ХТ

ки Re и отсюда по прямой к точке 0.

5. Вычислить ^ tgvzdz, где С есть окружность z | = л(/1=1, 2,...).

Отв. —4л/.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>