Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Неравенство Шоттки

Вывод неравенства Шоттки.

Для установления так называемой большой теоремы Пикара, содержание которой было формулировано в начале эгой главы, нам необходимо вывести одно неравенство, известное под названием неравенства Шоттки. Вывод этого неравенства мы выполним на основании результата Блоха (§ 1, п. 2), пользуясь методом, аналогичным применённому в § 2 (п. 1) для доказательства теоремы Ландау.

Рассмотрим функцию / (z), голоморфную внутри круга | z | < 1 и выпускающую значения 0 и 1. Переходя к вспомогательной функции F(z определённой формулой (5) в § 2(п. 1), рассмотрим выражение

где z = r. Эго выражение будет голоморфной функцией С внутри круга |С|<1, причём у(0) = 0, *'(0)=1. В силу результата Блоха (§ 1, п. 2) для этой функции существует круг с центром в некоторой точке плоскости ? абсолютного радиуса Blt который сплошь покрывается её значениями. Следовательно, в плоскости F найдётся круг с центром в некоторой точке радиуса 8{( —г)F'(z), сплошь покрываемый значениями функции Fz-- <Д — /-)С) при |С| < 1, а потому и подавно значениями F(C) при |С|< 1. Так как, с другой стороны, функция F(С) при |С|<1 выпускает значения, изображаемые точками множества Е (см. § 2, п. 1), то имеет место неравенство:

где ь — абсолютное постоянное, большее расстояния любой точки плоскости F до множества точек Е.

Последнее неравенство перепишем в виде:

Эго неравенство выведено в предположении]/7' (гг)=Ь0, но в случае F'{z) = О оно очевидно. Итак неравенство справедливо при всяком z, jzl=r< 1. Отметим очевидное тождество:

то, считая за путь интегрирования прямолинейный отрезок длины г, соединяющий точки 0 и -г, получаем из последнего тождества неравенство:

Так как

Возвращаясь к данной функции /(г), связанной с f(z) формулой (5'), и пользуясь последним неравенством, получим:

или, замечая, что F{0) выражается через /(0), окончательно находим: где Q зависит только от/(0) и r = z.

Вследствие голоморфности функции f{z) установленное неравенство (9), очевидно, остается в силе при |г|^г. Неравенство (9), принадлежащее Шоттки, показывает, что если семейство функций, голоморфных и выпускающих два значения, 0 и 1, внутри круга |г|< 1, имеет один и тот же свобод-* ный член/(0), то модуль любой функции этого Семейства в круге |zj=^r, г< 1, остается меньше некоторого постоянного числа, зависящего только ог г. К этому предложению можно привести общий случай, когда рассматриваемая функция f(z) будет * голоморфной и выпускающей значения 0 и 1 внутри круга | z | < R.

В самом деле, полагая » (x)=f (Rx)=f(z), мы получаем функцию, удовлетворяющую условиям доказанного неравенства (9), причем ? (0) =/(0). Следовательно, вследствие неравенства (9) будет:

или

Итак, если f(z) есть функция, голоморфная и выпускающая значения 0 и 1 внутри круга |*|<#, то в круге |z|=^/?8, 0<1, имеет место неравенство:

Примечание. Из неравенства (10) вытекает также оценка снизу (/(г) | в круге |z|^/?8. В самом деле, функция - удовлетворяет всем условиям

теоремы Шоттки, а потому <2 ПРИ Отсюда следует:

Неравенство (10') справедливо в круге

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>