Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Изображение голоморфной функции в виде бесконечного произведения.

Пусть мы имеем бесконечное произведение

причём все ип (г) суть функции !), голоморфные в некоторой области G. Предположим, что при любом п имеет место неравенство:

какова бы ни была точка z области G, и пусть числовой' ряд

сходится. В этом случае произведение (11) в силу предыдущего пункта сходится во всякой точке z области G и изображает, следовательно, некоторую функцию / (z) комплексного переменного г, не равную нулю ни в какой точке области G. Мы докажем, что f(z) есть функция, голоморфная в области G.

Действительно,

нам достаточно доказать на основании первой теоремы Вейерштрассэ (гл. V, § 1, п. 1), что последовательность функций fn(z), голоморфных в области G, сходится равномерно в этой области к функции f(z). Введя обозначения:

(последнее произведение сходится по условию в силу п. 2), оценим модуль разности f(z)—/n(z):

так как

С другой стороны, справедливо неравенство:

при любом п, какова бы ни была точка z области G. Действительно, откуда следует:

Последнее неравенство справедливо при любом k переходя к пределу при k—*• оо, получаем неравенство (15).

J) Все множители произведения (11) отличны от нуля для любой точки г области G.

Вследствие неравенства (15) неравенство (14) примет вид:

какова бы ни была точка z области G. Последнее неравенство доказывает равномерную сходимость в области G последовательности голоморфных функций fn(z) к функции /(z), что и нужно.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>